Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 7 vetores.
II. Todo subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Existe um subconjunto de V com 6 vetores que é LI e não gera V.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim(V)=7 e nos pede para avaliar as três afirmativas:
I. Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 7 vetores.
II. Todo subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Existe um subconjunto de V com 6 vetores que é LI e não gera V.
Vou trabalhar cada afirmativa e justificar por que é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Definições essenciais (explicadas com calma):
  • Um conjunto de vetores S\subset V é linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos nulos, \alpha_1,\dots,\alpha_k tais que
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0,
onde v_1,\dots,v_k são os vetores de S. Intuitivamente: algum vetor de S é combinação linear dos outros, ou o conjunto contém o vetor zero ou vetores repetidos/colineares.
  • Um conjunto S\subset V é linearmente independente (LI) se a única solução da equação acima é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Intuitivamente: nenhum vetor de S pode ser escrito como combinação linear dos demais.
  • Um conjunto B\subset V é base de V se é LI e gera V (ou seja, \operatorname{span}(B)=V). A dimensão \dim(V) é o número de vetores de qualquer base de V.
Estas definições serão usadas nas provas seguintes.

Passo 3

Teoremas/lemmas úteis (com explicação simples):
  • Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente. Raciocínio: uma base tem n vetores; não se pode ter um conjunto LI com mais de n vetores — se existisse, poder-se-ia estender esse conjunto a uma base com mais de n vetores, o que contradiz a definição de dimensão.
  • Qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base. Consequência prática: se um conjunto LI já tem n vetores (onde n=\dim(V)), não dá para estendê-lo (não há espaço para mais vetores LI), logo ele já gera V e portanto é base.
  • Qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI (remover vetores não cria dependência).
Vou aplicar esses fatos para avaliar I, II, III.

Passo 4

Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 7 vetores.”
Contraexemplo simples que derruba I: escolha um vetor não nulo v\in V (existe porque V não é o espaço nulo uma vez que \dim(V)=7). Considere o conjunto
S=\{v,0\}.
Esse conjunto tem apenas 2 vetores. Mostro que é LD: a combinação linear
0\cdot v + 1\cdot 0 = 0
é uma relação linear com coeficientes nem todos nulos (o coeficiente 1 é não nulo), então S é linearmente dependente. Logo existem conjuntos LD com apenas 2 vetores, muito menos que 7. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V.”
Prova detalhada e didática: seja S\subset V um conjunto LI com |S|=7. Como \dim(V)=7, qualquer base tem exatamente 7 vetores. Pela propriedade que mencionei, qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base. Se S não gerasse V, poderia-se adicionar um vetor w\notin\operatorname{span}(S) mantendo a independência (porque se existisse uma dependência envolvendo w então w estaria em \operatorname{span}(S)); assim obteríamos um conjunto LI com mais de 7 vetores, o que é impossível quando \dim(V)=7. Conclusão: não é possível adicionar um vetor novo mantendo LI, logo S já gera V. Assim S é LI e gera V, ou seja, S é base. Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmativa III: “Existe um subconjunto de V com 6 vetores que é LI e não gera V.”
Construção explícita: tome uma base B=\{b_1,\dots,b_7\} de V (existe por definição de dimensão). Considere o subconjunto
S=\{b_1,\dots,b_6\},
obtido removendo um vetor da base. Como B é LI, qualquer subconjunto de B é LI; portanto S é LI. Agora, S não gera V porque b_7 não pertence a \operatorname{span}(S) (se pertencesse, B não seria independente). Logo S é LI e não gera V. Assim a afirmativa III é verdadeira — e o exemplo mostra explicitamente que conjuntos LI de tamanho 6 existem e não geram o espaço de dimensão 7.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • I é falsa (contraponto com conjuntos LD pequenos, ex.: \{v,0\}).
  • II é verdadeira (qualquer conjunto LI com |S|=\dim(V) é base).
  • III é verdadeira (remover um vetor de uma base de 7 fornece um conjunto LI de 6 vetores que não gera).
Das alternativas dadas, a que corresponde a “Só II e III são verdadeiras” é a alternativa (B).

Resposta

(B)

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