Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 7 vetores.
II. Todo subconjunto LI de
com 7 vetores é uma base de
.
III. Existe um subconjunto de
com 6 vetores que é LI e não gera
.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
I. Todo subconjunto LD de
II. Todo subconjunto LI de
III. Existe um subconjunto de
(A) Só II é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e nos pede para avaliar as três afirmativas:
I. Todo subconjunto LD de possui no mínimo 7 vetores.
II. Todo subconjunto LI de com 7 vetores é uma base de
.
III. Existe um subconjunto de com 6 vetores que é LI e não gera
.
I. Todo subconjunto LD de
II. Todo subconjunto LI de
III. Existe um subconjunto de
Vou trabalhar cada afirmativa e justificar por que é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Definições essenciais (explicadas com calma):
- Um conjunto de vetores
é linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos nulos, tais que
onde
são os vetores de
. Intuitivamente: algum vetor de
é combinação linear dos outros, ou o conjunto contém o vetor zero ou vetores repetidos/colineares.
- Um conjunto
é linearmente independente (LI) se a única solução da equação acima é . Intuitivamente: nenhum vetor de pode ser escrito como combinação linear dos demais. - Um conjunto
é base de se é LI e gera (ou seja, ). A dimensão é o número de vetores de qualquer base de .
Estas definições serão usadas nas provas seguintes.
Passo 3
Teoremas/lemmas úteis (com explicação simples):
- Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto com mais de vetores é linearmente dependente. Raciocínio: uma base tem vetores; não se pode ter um conjunto LI com mais de vetores — se existisse, poder-se-ia estender esse conjunto a uma base com mais de vetores, o que contradiz a definição de dimensão. - Qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base. Consequência prática: se um conjunto LI já tem
vetores (onde ), não dá para estendê-lo (não há espaço para mais vetores LI), logo ele já gera e portanto é base. - Qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI (remover vetores não cria dependência).
Vou aplicar esses fatos para avaliar I, II, III.
Passo 4
Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 7 vetores.”
Contraexemplo simples que derruba I: escolha um vetor não nulo
(existe porque
não é o espaço nulo uma vez que
). Considere o conjunto
Esse conjunto tem apenas 2 vetores. Mostro que é LD: a combinação linear
é uma relação linear com coeficientes nem todos nulos (o coeficiente
é não nulo), então
é linearmente dependente. Logo existem conjuntos LD com apenas 2 vetores, muito menos que 7. Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto LI de
com 7 vetores é uma base de
.”
Prova detalhada e didática: seja
um conjunto LI com
. Como
, qualquer base tem exatamente 7 vetores. Pela propriedade que mencionei, qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base. Se
não gerasse
, poderia-se adicionar um vetor
mantendo a independência (porque se existisse uma dependência envolvendo
então
estaria em
); assim obteríamos um conjunto LI com mais de 7 vetores, o que é impossível quando
. Conclusão: não é possível adicionar um vetor novo mantendo LI, logo
já gera
. Assim
é LI e gera
, ou seja,
é base. Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmativa III: “Existe um subconjunto de
com 6 vetores que é LI e não gera
.”
Construção explícita: tome uma base
de
(existe por definição de dimensão). Considere o subconjunto
obtido removendo um vetor da base. Como
é LI, qualquer subconjunto de
é LI; portanto
é LI. Agora,
não gera
porque
não pertence a
(se pertencesse,
não seria independente). Logo
é LI e não gera
. Assim a afirmativa III é verdadeira — e o exemplo mostra explicitamente que conjuntos LI de tamanho
existem e não geram o espaço de dimensão
.
Passo 7
Resumo das verificações:
- I é falsa (contraponto com conjuntos LD pequenos, ex.:
). - II é verdadeira (qualquer conjunto LI com
é base). - III é verdadeira (remover um vetor de uma base de 7 fornece um conjunto LI de 6 vetores que não gera).
Das alternativas dadas, a que corresponde a “Só II e III são verdadeiras” é a alternativa
.
Resposta
(B)