Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.
II. Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.
III. Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.
(A) Todas são falsas.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente o que foi dito):
  • V é um espaço vetorial de dimensão 7.
  • Três afirmativas sobre subconjuntos de V:
    • I. Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.
    • II. Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.
    • III. Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.
  • A tarefa: identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde às verdadeiras/ falsas entre I, II e III.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar com clareza os conceitos que vamos usar (sem pular etapas):
  • Linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\} é LI se a única solução do sistema \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k = 0é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso exista uma combinação não-trivial (alguma \alpha_i\neq0) que dê zero, o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Gerar V (span): um conjunto gera V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
  • Base de V: é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e que gera V.
  • Dimensão: \dim(V)=n significa que toda base de V tem exatamente n vetores, e não existe base com mais ou menos do que n vetores.
Exemplo concreto para intuir: em \mathbb{R}^2 ( \dim=2), qualquer conjunto com 3 vetores é LD; qualquer conjunto LI com 2 vetores gera \mathbb{R}^2 e, portanto, é base.

Passo 3

Teorema útil 1 (mais usado aqui): Se \dim(V)=n, então qualquer conjunto com mais de n vetores em V é linearmente dependente.
Explicação e prova curta e didática:
  • Tome uma base de V com n vetores, escreva cada vetor do conjunto em questão nas coordenadas dessa base. Assim obtemos colunas em \mathbb{R}^n.
  • Se há mais de n colunas em \mathbb{R}^n, essas colunas são necessariamente linearmente dependentes (porque o espaço de colunas tem dimensão n). Isso dá uma combinação linear não-trivial das colunas igual a zero, que traduz de volta numa combinação não-trivial dos vetores originais em V.
  • Conclusão: qualquer conjunto com mais de n vetores é LD.
Aplicação do teorema ao nosso caso: aqui n=7. Logo qualquer subconjunto de V com 8 vetores (pois 8>7) é LD.

Passo 4

Usando o resultado do Passo 3, avalio a afirmativa I:
  • I diz: “Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.”
  • Pelo teorema, isso é verdade porque 8>7.
    Portanto I é verdadeira.

Passo 5

Teorema útil 2: Se \dim(V)=n, então qualquer conjunto de vetores que seja linearmente independente e tenha exatamente n vetores é uma base de V (logo gera V).
Explicação e prova curta e didática:
  • Suponha que S é LI com |S|=n.
  • Se S não gerasse V, seria possível acrescentar a S um vetor w\notin\operatorname{span}(S). O conjunto S\cup\{w\} seria então LI (porque w não está no span), o que produziria um conjunto LI com mais de n vetores — impossível pois a dimensão é n. Contradição.
  • Logo S deve gerar V, isto é, é base.

Passo 6

Aplicação ao item II:
  • II afirma: “Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.”
  • Pelo teorema do Passo 5, qualquer subconjunto LI com 7 vetores (pois 7=\dim V) gera V. Logo não pode existir um conjunto LI com 7 vetores que não gere V.
    Portanto II é falsa.

Passo 7

Agora o item III:
  • III diz: “Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.”
  • Para ser base, um subconjunto precisa ser LI e gerar V. Mas pelo Passo 3, todo subconjunto com 8 vetores é LD, portanto nenhum conjunto com 8 vetores pode ser LI, e assim nenhum pode ser base.
    Portanto III é verdadeira.

Passo 8

Resumo das verdades:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Concluindo: as afirmativas verdadeiras são I e III.

Resposta

(C) Só I e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados