Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto de
com 8 vetores é LD.
II. Existe um subconjunto LI de
com 7 vetores que não gera
.
III. Nenhum subconjunto de
com 8 vetores é uma base de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só II é verdadeira.
I. Todo subconjunto de
II. Existe um subconjunto LI de
III. Nenhum subconjunto de
(A) Todas são falsas.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I e III são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I e II são verdadeiras.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar exatamente o que foi dito):
-
é um espaço vetorial de dimensão . - Três afirmativas sobre subconjuntos de
: - I. Todo subconjunto de
com vetores é LD. - II. Existe um subconjunto LI de
com vetores que não gera . - III. Nenhum subconjunto de
com vetores é uma base de .
- I. Todo subconjunto de
- A tarefa: identificar qual alternativa (A)–(H) corresponde às verdadeiras/ falsas entre I, II e III.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar com clareza os conceitos que vamos usar (sem pular etapas):
- Linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores
é LI se a única solução do sistema é . Caso exista uma combinação não-trivial (alguma ) que dê zero, o conjunto é linearmente dependente (LD). - Gerar
(span): um conjunto gera se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. - Base de
: é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e que gera . - Dimensão:
significa que toda base de tem exatamente vetores, e não existe base com mais ou menos do que vetores.
Exemplo concreto para intuir: em
(
), qualquer conjunto com
vetores é LD; qualquer conjunto LI com
vetores gera
e, portanto, é base.
Passo 3
Teorema útil 1 (mais usado aqui): Se
, então qualquer conjunto com mais de
vetores em
é linearmente dependente.
Explicação e prova curta e didática:
- Tome uma base de
com vetores, escreva cada vetor do conjunto em questão nas coordenadas dessa base. Assim obtemos colunas em . - Se há mais de
colunas em , essas colunas são necessariamente linearmente dependentes (porque o espaço de colunas tem dimensão ). Isso dá uma combinação linear não-trivial das colunas igual a zero, que traduz de volta numa combinação não-trivial dos vetores originais em . - Conclusão: qualquer conjunto com mais de
vetores é LD.
Aplicação do teorema ao nosso caso: aqui
. Logo qualquer subconjunto de
com
vetores (pois
) é LD.
Passo 4
Usando o resultado do Passo 3, avalio a afirmativa I:
- I diz: “Todo subconjunto de
com vetores é LD.” - Pelo teorema, isso é verdade porque
.
Portanto I é verdadeira.
Passo 5
Teorema útil 2: Se
, então qualquer conjunto de vetores que seja linearmente independente e tenha exatamente
vetores é uma base de
(logo gera
).
Explicação e prova curta e didática:
- Suponha que
é LI com . - Se
não gerasse , seria possível acrescentar a um vetor . O conjunto seria então LI (porque não está no span), o que produziria um conjunto LI com mais de vetores — impossível pois a dimensão é . Contradição. - Logo
deve gerar , isto é, é base.
Passo 6
Aplicação ao item II:
- II afirma: “Existe um subconjunto LI de
com vetores que não gera .” - Pelo teorema do Passo 5, qualquer subconjunto LI com
vetores (pois ) gera . Logo não pode existir um conjunto LI com vetores que não gere .
Portanto II é falsa.
Passo 7
Agora o item III:
- III diz: “Nenhum subconjunto de
com vetores é uma base de .” - Para ser base, um subconjunto precisa ser LI e gerar
. Mas pelo Passo 3, todo subconjunto com vetores é LD, portanto nenhum conjunto com vetores pode ser LI, e assim nenhum pode ser base.
Portanto III é verdadeira.
Passo 8
Resumo das verdades:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Concluindo: as afirmativas verdadeiras são I e III.
Resposta
(C) Só I e III são verdadeiras.