Q7: Considere os seguintes planos em
:
Calcule o ponto
em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em
, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada
é:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos afins em
. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que nos pedem (peguei estes vetores do enunciado).
- Primeiro plano:
- Segundo plano:
O que o problema pede:
- Calcular o ponto
onde esses dois planos se interceptam e, em particular, informar o valor da entrada (escolha múltipla entre as alternativas dadas).
Informações relevantes (resumindo em termos de parâmetros):
- No primeiro plano usarei parâmetros
e a expressão
- No segundo plano usarei parâmetros
e a expressão
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Condição de interseção: existe
tal que
Escrevendo essa igualdade coordenada a coordenada (peguei os componentes dos vetores dados):
Passo 3
Vou simplificar cada equação para obter um sistema linear em
.
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Da quarta:
Agora temos o sistema (Eq1)–(Eq4) em
.
Passo 4
Estratégia: isolar uma variável simples e fazer substituições. A Eq3 é conveniente para isolar
. Da Eq3:
Vou substituir essa expressão de
nas Eqs. (Eq2) e (Eq4) para eliminar
e ficar com três incógnitas
.
Passo 5
Substituindo
na Eq2:
Agrupando termos:
Substituindo
na Eq4:
Expandindo:
Dividindo por
:
Reescrevendo também a Eq1 para facilitar:
Agora temos o sistema em
:
Passo 6
Vou eliminar
usando Eq1 e Eq4a. Subtraindo Eq1 de Eq4a:
Isso dá:
Agora uso Eq2a e Eq5 para resolver
e
. Da Eq2a substituo
obtido da Eq1 ou elimino
de outra forma. Vou expressar
pela Eq1:
Substituo (s) em Eq2a:
Calculando:
Dividindo por
:
Agora resolvo o sistema (Eq5) e (Eq6):
Multiplicando a primeira por
e somando com a segunda para eliminar
:
Somando:
Ops, isso complicou; volto a eliminar
de forma mais direta: da Eq5 temos
. Substituo em Eq6:
Calculando:
Com
, usando Eq5:
Passo 7
Agora obtenho
e
pelas fórmulas anteriores.
Da expressão para
(Eq1 rearranjada):
Da expressão para
(usada no Passo 4):
Resumo dos parâmetros encontrados:
Passo 8
Agora calculo o ponto de interseção usando a expressão do primeiro plano (poderia usar a do segundo para checar; ambos devem dar o mesmo resultado).
Usando
substituindo
e
:
Calculo coordenada a coordenada (faço as contas devagar para poder replicar na prova sem calculadora):
Primeira coordenada:
Segunda coordenada:
Terceira coordenada:
Quarta coordenada:
Logo o ponto de interseção é
Como verificação rápida, pode-se também substituir
na expressão do segundo plano e confirmar que dá o mesmo vetor (de fato dá).
Passo 9
Conclusão: a entrada
do ponto de interseção é
. Das alternativas fornecidas isso corresponde à letra (C).
Resposta
(C)