Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ 2 \\\\ -7 \\\\ 1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} 13 \\\\ 2 \\\\ -16 \\\\ 0 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar explicitamente o que foi dado e o que nos pedem (peguei estes vetores do enunciado).
  • Primeiro plano:
\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ 2 \\\\ -7 \\\\ 1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\}.
  • Segundo plano:
\left[\begin{array}{r} 13 \\\\ 2 \\\\ -16 \\\\ 0 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}.
O que o problema pede:
  • Calcular o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) onde esses dois planos se interceptam e, em particular, informar o valor da entrada x_{1} (escolha múltipla entre as alternativas dadas).
Informações relevantes (resumindo em termos de parâmetros):
  • No primeiro plano usarei parâmetros \;s,t\; e a expressão
\mathbf{p}(s,t)=\left[\begin{array}{r}5\\\ 2\\\ -7\\\ 1\end{array}\right] +s\left[\begin{array}{r}1\\\ 3\\\ 0\\\ 2\end{array}\right] +t\left[\begin{array}{r}3\\\ -3\\\ -1\\\ 1\end{array}\right].
  • No segundo plano usarei parâmetros \;u,v\; e a expressão
\mathbf{q}(u,v)=\left[\begin{array}{r}13\\\ 2\\\ -16\\\ 0\end{array}\right] +u\left[\begin{array}{r}0\\\ -1\\\ 1\\\ 3\end{array}\right] +v\left[\begin{array}{r}3\\\ 2\\\ -3\\\ 3\end{array}\right].
A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Condição de interseção: existe (s,t,u,v) tal que
\mathbf{p}(s,t)=\mathbf{q}(u,v).
Escrevendo essa igualdade coordenada a coordenada (peguei os componentes dos vetores dados):
\begin{aligned} &5 + s + 3t = 13 + 0\cdot u + 3v,\\\ &2 + 3s - 3t = 2 - u + 2v,\\\ &-7 + 0\cdot s - t = -16 + u -3v,\\\ &1 + 2s + t = 0 + 3u + 3v. \end{aligned}

Passo 3

Vou simplificar cada equação para obter um sistema linear em s,t,u,v.
Da primeira equação:
5 + s + 3t = 13 + 3v
\Rightarrow s + 3t - 3v = 8. \tag{Eq1}
Da segunda:
2 + 3s - 3t = 2 - u + 2v
\Rightarrow 3s - 3t + u - 2v = 0. \tag{Eq2}
Da terceira:
-7 - t = -16 + u - 3v
\Rightarrow t + u - 3v = 9. \tag{Eq3}
Da quarta:
1 + 2s + t = 3u + 3v
\Rightarrow 2s + t - 3u - 3v = -1. \tag{Eq4}
Agora temos o sistema (Eq1)–(Eq4) em \;s,t,u,v\;.

Passo 4

Estratégia: isolar uma variável simples e fazer substituições. A Eq3 é conveniente para isolar u. Da Eq3:
u = 9 - t + 3v. \tag{u}
Vou substituir essa expressão de u nas Eqs. (Eq2) e (Eq4) para eliminar u e ficar com três incógnitas s,t,v.

Passo 5

Substituindo u = 9 - t + 3v na Eq2:
3s - 3t + (9 - t + 3v) - 2v = 0.
Agrupando termos:
3s - 3t + 9 - t + 3v - 2v = 0
\Rightarrow 3s - 4t + v = -9. \tag{Eq2a}
Substituindo u na Eq4:
2s + t - 3(9 - t + 3v) - 3v = -1.
Expandindo:
2s + t - 27 + 3t - 9v - 3v = -1
\Rightarrow 2s + 4t - 12v = 26.
Dividindo por 2:
s + 2t - 6v = 13. \tag{Eq4a}
Reescrevendo também a Eq1 para facilitar:
s + 3t - 3v = 8. \tag{Eq1}
Agora temos o sistema em s,t,v:
\begin{aligned} &\text{(Eq1)}\quad s + 3t - 3v = 8,\\\ &\text{(Eq2a)}\quad 3s - 4t + v = -9,\\\ &\text{(Eq4a)}\quad s + 2t - 6v = 13. \end{aligned}

Passo 6

Vou eliminar s usando Eq1 e Eq4a. Subtraindo Eq1 de Eq4a:
(s + 2t - 6v) - (s + 3t - 3v) = 13 - 8.
Isso dá:
- t - 3v = 5
\Rightarrow t + 3v = -5. \tag{Eq5}
Agora uso Eq2a e Eq5 para resolver t e v. Da Eq2a substituo s obtido da Eq1 ou elimino s de outra forma. Vou expressar s pela Eq1:
s = 8 - 3t + 3v. \tag{s}
Substituo (s) em Eq2a:
3(8 - 3t + 3v) - 4t + v = -9.
Calculando:
24 - 9t + 9v - 4t + v = -9
24 - 13t + 10v = -9
-13t + 10v = -33.
Dividindo por -1:
13t - 10v = 33. \tag{Eq6}
Agora resolvo o sistema (Eq5) e (Eq6):
\begin{aligned} &t + 3v = -5,\\\ &13t - 10v = 33. \end{aligned}
Multiplicando a primeira por 10 e somando com a segunda para eliminar v:
10t + 30v = -50
13t - 10v = 33
Somando:
23t + 20v = -17.
Ops, isso complicou; volto a eliminar v de forma mais direta: da Eq5 temos t = -5 - 3v. Substituo em Eq6:
13(-5 - 3v) - 10v = 33.
Calculando:
-65 - 39v - 10v = 33
-65 - 49v = 33
-49v = 98
v = -2.
Com v=-2, usando Eq5:
t + 3(-2) = -5 \Rightarrow t -6 = -5 \Rightarrow t = 1.

Passo 7

Agora obtenho s e u pelas fórmulas anteriores.
Da expressão para s (Eq1 rearranjada):
s = 8 - 3t + 3v = 8 - 3\cdot 1 + 3\cdot(-2) = 8 - 3 - 6 = -1.
Da expressão para u (usada no Passo 4):
u = 9 - t + 3v = 9 - 1 + 3\cdot(-2) = 8 - 6 = 2.
Resumo dos parâmetros encontrados:
s = -1,\quad t = 1,\quad u = 2,\quad v = -2.

Passo 8

Agora calculo o ponto de interseção usando a expressão do primeiro plano (poderia usar a do segundo para checar; ambos devem dar o mesmo resultado).
Usando
\mathbf{p}(s,t)=\left[\begin{array}{r}5\\\ 2\\\ -7\\\ 1\end{array}\right] +s\left[\begin{array}{r}1\\\ 3\\\ 0\\\ 2\end{array}\right] +t\left[\begin{array}{r}3\\\ -3\\\ -1\\\ 1\end{array}\right],
substituindo s=-1 e t=1:
Calculo coordenada a coordenada (faço as contas devagar para poder replicar na prova sem calculadora):
Primeira coordenada:
x_{1}=5 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 3 = 5 -1 +3 = 7.
Segunda coordenada:
x_{2}=2 + (-1)\cdot 3 + 1\cdot(-3) = 2 -3 -3 = -4.
Terceira coordenada:
x_{3}=-7 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot(-1) = -7 + 0 -1 = -8.
Quarta coordenada:
x_{4}=1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 = 1 -2 +1 = 0.
Logo o ponto de interseção é
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(7,-4,-8,0\right).
Como verificação rápida, pode-se também substituir u=2,v=-2 na expressão do segundo plano e confirmar que dá o mesmo vetor (de fato dá).

Passo 9

Conclusão: a entrada x_{1} do ponto de interseção é \;7\;. Das alternativas fornecidas isso corresponde à letra (C).

Resposta

(C) 7

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