Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 9 \\\\ -4 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado fornece quatro vetores em \mathbb{R}^{4} e pede a dimensão do subespaço gerado por eles, ou seja, a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}3\\\ 9\\\ -4\\\ -3\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -7\\\ 6\end{pmatrix}\right\}.
As informações relevantes dadas são os componentes de cada vetor (listei-os acima). A pergunta é: qual é a dimensão do espaço gerado por esses vetores? (Escolha entre as alternativas (A)–(E).)

Passo 2

O que significa “dimensão do span”?
  • A expressão \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v_1,\dots,v_k.
  • A dimensão desse span é o número de vetores de uma base desse subespaço, ou equivalentemente o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles.
    Uma maneira prática de obter essa dimensão é montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss: o posto da matriz coluna é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas.

Passo 3

Formo a matriz A colocando os vetores como colunas (cada coluna é um dos vetores fornecidos):
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 1 & 4 & 9 & 0 \\\\ -2 & -1 & -4 & -7 \\\\ 1 & -2 & -3 & 6 \end{pmatrix}.
O objetivo é aplicar operações elementares nas linhas para levar A a uma forma escalonada e contar o número de linhas não nulas (pivôs).

Passo 4

Faço operações com a primeira linha como pivô para zerar abaixo dela:
Realizo \;R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\; R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1,\; R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculo cada nova linha:
R_2: \; (1,4,9,0) - (1,1,3,3) = (0,3,6,-3),
R_3: \; (-2,-1,-4,-7) + 2(1,1,3,3) = (0,1,2,-1),
R_4: \; (1,-2,-3,6) - (1,1,3,3) = (0,-3,-6,3).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Observo que a quarta linha é -1 vezes a segunda linha (ou seja, R_4 = -R_2), então já antecipa dependência. Para continuar a escalonar, troco R_2 com R_3 para obter um pivô 1:
R_2 \leftrightarrow R_3,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 6 & -3\\[4pt] 0 & -3 & -6 & 3 \end{pmatrix}.
Agora zerei as entradas abaixo do pivô na coluna 2: faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2 e R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2.
Cálculos:
R_3: (0,3,6,-3) - 3(0,1,2,-1) = (0,0,0,0),
R_4: (0,-3,-6,3) + 3(0,1,2,-1) = (0,0,0,0).
A matriz escalonada final fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Conto as linhas não nulas (ou pivôs): há exatamente 2 linhas não nulas (pivôs nas colunas 1 e 2). Portanto o posto (rank) de A é 2. Como o posto das colunas é a dimensão do espaço gerado pelas colunas, concluo que a dimensão do span pedido é 2.

Passo 7

(Verificação explícita de dependência, útil para fixar a ideia.)
Posso exibir [v_3) e v_4 como combinação linear de v_1 e v_2 para ficar claro que apenas dois vetores são independentes.
Procuro a,b tais que
\begin{pmatrix}3\\\ 9\\\ -4\\\ -3\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} a + b = 3,\\[2pt] a + 4b = 9, \end{cases}
daqui b=2\] e \(a=1. Conferindo nas demais componentes: funciona. Logo v_3 = 1\cdot v_1 + 2\cdot v_2.
Procuro c,d tais que
\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -7\\\ 6\end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
O sistema inicial dá c+d=3 e c+4d=0, o que leva a d=-1 e c=4. Verifica-se nas demais componentes. Logo v_4 = 4\cdot v_1 - 1\cdot v_2.
Isso confirma que v_3 e v_4 estão no subespaço gerado por v_1,v_2, ou seja, apenas dois vetores são necessários para gerar todo o conjunto.]

Resposta

(C) 2

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