As informações relevantes dadas são os componentes de cada vetor (listei-os acima). A pergunta é: qual é a dimensão do espaço gerado por esses vetores? (Escolha entre as alternativas (A)–(E).)
Passo 2
O que significa “dimensão do span”?
A expressão \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v_1,\dots,v_k.
A dimensão desse span é o número de vetores de uma base desse subespaço, ou equivalentemente o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles.
Uma maneira prática de obter essa dimensão é montar uma matriz cujas colunas sejam os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss: o posto da matriz coluna é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas.
Passo 3
Formo a matriz A colocando os vetores como colunas (cada coluna é um dos vetores fornecidos):
O objetivo é aplicar operações elementares nas linhas para levar A a uma forma escalonada e contar o número de linhas não nulas (pivôs).
Passo 4
Faço operações com a primeira linha como pivô para zerar abaixo dela:
Realizo \;R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\; R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1,\; R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculo cada nova linha:
Observo que a quarta linha é -1 vezes a segunda linha (ou seja, R_4 = -R_2), então já antecipa dependência. Para continuar a escalonar, troco R_2 com R_3 para obter um pivô 1:
Conto as linhas não nulas (ou pivôs): há exatamente 2 linhas não nulas (pivôs nas colunas 1 e 2). Portanto o posto (rank) de A é 2. Como o posto das colunas é a dimensão do espaço gerado pelas colunas, concluo que a dimensão do span pedido é 2.
Passo 7
(Verificação explícita de dependência, útil para fixar a ideia.)
Posso exibir [v_3) e v_4 como combinação linear de v_1 e v_2 para ficar claro que apenas dois vetores são independentes.