Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{1}=x_{2} \\\ x_{13}=x_{5} \\\ x_{12}=x_{11} \\\ x_{13}+x_{1}=x_{5}+x_{2} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 13
(C) 2
(D) 11
(E) 10
(F) 14
(G) 12
(H) 4

Passo 1

O enunciado define S\) como o conjunto dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{14}\right)\in\mathbb{R}^{14}\) que satisfazem as quatro igualdades: \[\begin{cases} x_{1}=x_{2},\\[4pt] x_{13}=x_{5},\\[4pt] x_{12}=x_{11},\\[4pt] x_{13}+x_{1}=x_{5}+x_{2}. \end{cases}
A pergunta é: qual é a dimensão de (S]? (ou seja, quantos graus de liberdade/parametros independentes têm as soluções).]

Passo 2

Interpretação útil: S é o espaço solução de um sistema linear homogêneo em 14 incógnitas. Quando temos um sistema homogêneo de n incógnitas cuja matriz de coeficientes tem posto r, a dimensão do espaço solução (o “nulllspace”) é
\dim(S)=n-r.
Aqui n=14. Então basta determinar quantas equações independentes (o posto r) as quatro igualdades fornecem.

Passo 3

Escrevendo cada igualdade em forma linear padrão (subtraindo o lado direito):
\begin{aligned} &x_{1}-x_{2}=0,\\[4pt] &x_{13}-x_{5}=0,\\[4pt] &x_{12}-x_{11}=0,\\[4pt] &x_{13}-x_{5}+x_{1}-x_{2}=0. \end{aligned}
Cada uma dessas é uma equação linear homogênea em \{x_1,\dots,x_{14}\}.]

Passo 4

Verificação de dependência linear entre as equações: note que a quarta equação é exatamente a soma da primeira com a segunda. De fato,
(x_{13}-x_{5})+(x_{1}-x_{2})=x_{13}-x_{5}+x_{1}-x_{2},
que é a expressão da quarta equação. Portanto a quarta equação é redundante — ela não adiciona nova restrição além das duas primeiras.

Passo 5

Conclui-se que entre as quatro igualdades há apenas três equações linearmente independentes: as três primeiras. Logo o posto das equações é r=3.

Passo 6

Aplicando a fórmula da dimensão do espaço solução:
\dim(S)=n-r=14-3=11.
Intuição prática: cada equação independente reduz um grau de liberdade; como temos 14 variáveis e 3 restrições independentes, restam 11 variáveis livres (por exemplo pode-se tomar como livres \,x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},x_{11},x_{14}\, e expressar x_{1}=x_{2},\,x_{13}=x_{5},\,x_{12}=x_{11}).

Resposta

(D) 11

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