Os vetores listados são quatro vetores em \mathbb{R}^4.
A pergunta é qual é a dimensão do subespaço gerado por esses vetores (uma das alternativas: 0,1,2,3,4).
Passo 2
Entendendo o que vamos calcular (sem resolver ainda): a dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses quatro. Uma forma prática é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss; o posto da matriz iguala-se à dimensão do espaço gerado pelas colunas. Agora vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores dados:
Breve explicação didática sobre o método: operações elementares de linha (somar uma linha a outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo, trocar linhas) correspondem a multiplicar A pela esquerda por uma matriz invertível; isso não altera dependências lineares entre as colunas nem o posto. Assim, podemos aplicar eliminação por linhas para encontrar o número de linhas não nulas na forma escalonada — esse número é o posto de A e também a dimensão do span das colunas.
Passo 4
Iniciando a eliminação de Gauss. A matriz inicial é
Expliquei cada operação: por exemplo, R_2+R_1 significa somar componente a componente as linhas 2 e 1; isso zera a primeira entrada da linha 2 porque -1+1=0.]
Passo 6
Agora vamos usar a segunda linha como pivô na segunda coluna. Primeiro simplifico combinações entre R_2,R_3,R_4:
Agora temos claramente três linhas não nulas (linhas 1, 2 e 3) e a quarta linha é zero.]
Passo 8
Interpretação final: o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto (rank) da matriz A. Aqui o posto é 3. Pelo argumento anterior, o posto da matriz de colunas é igual à dimensão do subespaço gerado pelas colunas. Portanto a dimensão do span pedido é 3.