Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -5 \\\\ -8 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ 8 \\\\ -7\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço gerado (span) pelos quatro vetores dados. Ou seja, encontrar a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\; \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}3\\\ -5\\\ -8\\\ 5\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ 8\\\ -7\end{pmatrix}\;\right\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores listados são quatro vetores em \mathbb{R}^4.
  • A pergunta é qual é a dimensão do subespaço gerado por esses vetores (uma das alternativas: 0,1,2,3,4).

Passo 2

Entendendo o que vamos calcular (sem resolver ainda): a dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses quatro. Uma forma prática é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto (rank) dessa matriz por eliminação de Gauss; o posto da matriz iguala-se à dimensão do espaço gerado pelas colunas. Agora vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores dados:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -5 & 0 & 3\\[4pt] -2 & -8 & 0 & 8\\[4pt] 1 & 5 & -2 & -7 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Breve explicação didática sobre o método: operações elementares de linha (somar uma linha a outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo, trocar linhas) correspondem a multiplicar A pela esquerda por uma matriz invertível; isso não altera dependências lineares entre as colunas nem o posto. Assim, podemos aplicar eliminação por linhas para encontrar o número de linhas não nulas na forma escalonada — esse número é o posto de A e também a dimensão do span das colunas.

Passo 4

Iniciando a eliminação de Gauss. A matriz inicial é
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\[4pt] -1 & -5 & 0 & 3\\[4pt] -2 & -8 & 0 & 8\\[4pt] 1 & 5 & -2 & -7 \end{pmatrix}.
Usarei operações simples para zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna.]

Passo 5

Fazer as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1
Aplicando essas operações obtemos:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & 2 & -4 & -6 \end{pmatrix}.
Expliquei cada operação: por exemplo, R_2+R_1 significa somar componente a componente as linhas 2 e 1; isso zera a primeira entrada da linha 2 porque -1+1=0.]

Passo 6

Agora vamos usar a segunda linha como pivô na segunda coluna. Primeiro simplifico combinações entre R_2,R_3,R_4:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_2
Depois das operações:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Detalhe do cálculo: na coluna 2 temos -2-(-2)=0 em R_3 e 2+(-2)=0 em R_4, por isso as entradas da segunda coluna em R_3,R_4 ficaram zero.]

Passo 7

Agora observe as linhas 3 e 4; podemos anular a linha 4 somando a linha 3:
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_3
Isso produz:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora temos claramente três linhas não nulas (linhas 1, 2 e 3) e a quarta linha é zero.]

Passo 8

Interpretação final: o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto (rank) da matriz A. Aqui o posto é 3. Pelo argumento anterior, o posto da matriz de colunas é igual à dimensão do subespaço gerado pelas colunas. Portanto a dimensão do span pedido é 3.

Resposta

(D) 3

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