Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Existe subconjunto LI de V com 8 vetores.
II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera $V.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial com \dim(V)=7 e apresenta três afirmações que devemos avaliar como verdadeiras ou falsas:
  • I. Existe subconjunto linearmente independente de V com 8 vetores.
  • II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
  • III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera V.
A tarefa é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Antes de resolver, vamos revisar de forma bem didática os conceitos e fatos que vamos usar (sem pular etapas):
Definições e fatos úteis:
  • Uma família de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor nulo tem todos os coeficientes iguais a zero.
  • Um conjunto de vetores gera (ou é gerador de) V quando todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores; dizemos também que o conjunto “gera” V ou que seu span é V.
  • Uma base de V é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera V.
  • A dimensão \dim(V) é o número de vetores de qualquer base de V. Aqui \dim(V)=7.
Propriedades fundamentais (muito utilizadas em prova):
  1. Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores. Em símbolos: se S é LI então |S|\le n.
  2. Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto que gera o espaço deve ter pelo menos n vetores. Em símbolos: se G gera então |G|\ge n.
  3. Se um conjunto gera V e tem exatamente n vetores (onde n=\dim(V)), então ele é base (ou seja, é LI).
  4. Se um conjunto é LI e tem exatamente n vetores, então ele é base (ou seja, gera V).
Breve intuição/prova dos itens 1 e 2 (sem formalidade pesada, só a intuição que cai na prova):
  • Tomando uma base B com n vetores, qualquer vetor de V escreve-se como combinação linear de B. Se houvesse um conjunto LI com mais de n vetores, ao expressar esses vetores nas coordenadas da base B obtém-se mais colunas do que linhas numa matriz n\times m com m>n; dessa forma as colunas seriam linearmente dependentes, contradizendo a hipótese de LI. Por isso não pode haver mais de n vetores LI.
  • Se existisse um conjunto gerador com menos de n vetores, então seria possível ter uma base com menos de n vetores (pois um gerador contém uma base), o que contradiz a definição de dimensão como tamanho de qualquer base. Logo geradores têm tamanho \ge n.
Esses resultados são clássicos e muito usados em provas rápidas: “número de vetores LI ≤ dimensão” e “número de vetores geradores ≥ dimensão”; e dos dois últimos pontos decorrem imediatamente as afirmações sobre coleções com exatamente n vetores serem bases.

Passo 3

Análise da afirmação I: “Existe subconjunto LI de V com 8 vetores.”
Aplicando o fato 1 com n=7: em V nenhum conjunto LI pode ter mais que 7 vetores. Portanto um conjunto LI com 8 vetores é impossível.
Conclusão do passo: I é falsa.
(Explicação curta para a prova: se tentasse colocar 8 vetores LI num espaço de dimensão 7, o argumento da matriz com 7 linhas e 8 colunas mostra que as colunas seriam LD, contradizendo LI.)

Passo 4

Análise da afirmação II: “Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.”
Aqui usamos o fato 3. Como \dim(V)=7, qualquer conjunto que gera V e tem exatamente 7 vetores não pode ser linearmente dependente: suponha que fosse dependente, então seria possível remover pelo menos um vetor sem perder a propriedade de gerar, obtendo-se um gerador com \le 6 vetores, o que contradiria o fato de que geradores têm pelo menos 7 vetores. Assim o conjunto gerador com 7 vetores é LI e gera V, logo é base.
Conclusão do passo: II é verdadeira.
(Comentário estilo prova: este é um enunciado padrão e frequentemente usado — “um conjunto gerador com tamanho igual à dimensão é base”.)

Passo 5

Análise da afirmação III: “Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera V.”
Isto é direto do fato 2: qualquer conjunto gerador de V deve ter pelo menos \dim(V)=7 vetores. Portanto um subconjunto com apenas 6 vetores não pode gerar V.
Conclusão do passo: III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades/falsezas:
  • I: falsa.
  • II: verdadeira.
  • III: verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são exatamente II e III.

Resposta

(C) Só II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados