Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Existe subconjunto LI de
com 8 vetores.
II. Todo conjunto gerador de
com 7 vetores é uma base de
.
III. Nenhum subconjunto de
com 6 vetores gera $V.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Existe subconjunto LI de
II. Todo conjunto gerador de
III. Nenhum subconjunto de
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial com
e apresenta três afirmações que devemos avaliar como verdadeiras ou falsas:
- I. Existe subconjunto linearmente independente de
com vetores. - II. Todo conjunto gerador de
com vetores é uma base de . - III. Nenhum subconjunto de
com vetores gera .
A tarefa é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Antes de resolver, vamos revisar de forma bem didática os conceitos e fatos que vamos usar (sem pular etapas):
Definições e fatos úteis:
- Uma família de vetores é linearmente independente (LI) quando a única combinação linear que dá o vetor nulo tem todos os coeficientes iguais a zero.
- Um conjunto de vetores gera (ou é gerador de)
quando todo vetor de pode ser escrito como combinação linear desses vetores; dizemos também que o conjunto “gera” ou que seu span é . - Uma base de
é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera . - A dimensão
é o número de vetores de qualquer base de . Aqui .
Propriedades fundamentais (muito utilizadas em prova):
- Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto LI tem no máximo vetores. Em símbolos: se é LI então . - Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto que gera o espaço deve ter pelo menos vetores. Em símbolos: se gera então . - Se um conjunto gera
e tem exatamente vetores (onde ), então ele é base (ou seja, é LI). - Se um conjunto é LI e tem exatamente
vetores, então ele é base (ou seja, gera ).
Breve intuição/prova dos itens 1 e 2 (sem formalidade pesada, só a intuição que cai na prova):
- Tomando uma base
com vetores, qualquer vetor de escreve-se como combinação linear de . Se houvesse um conjunto LI com mais de vetores, ao expressar esses vetores nas coordenadas da base obtém-se mais colunas do que linhas numa matriz com ; dessa forma as colunas seriam linearmente dependentes, contradizendo a hipótese de LI. Por isso não pode haver mais de vetores LI. - Se existisse um conjunto gerador com menos de
vetores, então seria possível ter uma base com menos de vetores (pois um gerador contém uma base), o que contradiz a definição de dimensão como tamanho de qualquer base. Logo geradores têm tamanho .
Esses resultados são clássicos e muito usados em provas rápidas: “número de vetores LI ≤ dimensão” e “número de vetores geradores ≥ dimensão”; e dos dois últimos pontos decorrem imediatamente as afirmações sobre coleções com exatamente
vetores serem bases.
Passo 3
Análise da afirmação I: “Existe subconjunto LI de
com
vetores.”
Aplicando o fato 1 com
: em
nenhum conjunto LI pode ter mais que
vetores. Portanto um conjunto LI com
vetores é impossível.
Conclusão do passo: I é falsa.
(Explicação curta para a prova: se tentasse colocar
vetores LI num espaço de dimensão
, o argumento da matriz com
linhas e
colunas mostra que as colunas seriam LD, contradizendo LI.)
Passo 4
Análise da afirmação II: “Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.”
Aqui usamos o fato 3. Como
, qualquer conjunto que gera
e tem exatamente
vetores não pode ser linearmente dependente: suponha que fosse dependente, então seria possível remover pelo menos um vetor sem perder a propriedade de gerar, obtendo-se um gerador com
vetores, o que contradiria o fato de que geradores têm pelo menos
vetores. Assim o conjunto gerador com
vetores é LI e gera
, logo é base.
Conclusão do passo: II é verdadeira.
(Comentário estilo prova: este é um enunciado padrão e frequentemente usado — “um conjunto gerador com tamanho igual à dimensão é base”.)
Passo 5
Análise da afirmação III: “Nenhum subconjunto de
com
vetores gera
.”
Isto é direto do fato 2: qualquer conjunto gerador de
deve ter pelo menos
vetores. Portanto um subconjunto com apenas
vetores não pode gerar
.
Conclusão do passo: III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades/falsezas:
- I: falsa.
- II: verdadeira.
- III: verdadeira.
Portanto as afirmações verdadeiras são exatamente II e III.
Resposta
(C) Só II e III são verdadeiras.