Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
pode ser LI.
II. Se
não são colineares, então
é uma base de
.
III. Se
e
são todos LIs, então
é uma base de
.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I é verdadeira.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
com distintos. - Definições auxiliares do enunciado:
-
. -
. -
.
-
- Afirmações a avaliar:
I. Seé LD, então pode ser LI.
II. Senão são colineares, então é uma base de .
III. See são todos LIs, então é uma base de .
O objetivo: determinar quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Revisão das definições importantes (explicando passo a passo):
-
Linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente,
é LI se Aquisão escalares reais. -
Linearmente dependentes (LD): não LI, ou seja, existem escalares
, não todos nulos, tais que No caso de dois vetores, eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (i.e., são colineares): para algum . -
Base de
: um conjunto de vetores que é LI e gera . Em , qualquer conjunto de exatamente três vetores forma uma base se, e somente se, for LI (porque então sua dimensão é 3 e ele gera todo ). -
Observação útil: se dentre três vetores dois são colineares (um é múltiplo do outro), então os três são necessariamente LD, pois já existe dependência envolvendo apenas esses dois.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
-
LD significa que para algum escalar (ou, equivalentemente, ). - Isso já dá uma relação linear não trivial entre
e : com coeficientes aplicados a . Logo existe uma combinação linear não trivial que anula um subconjunto dos vetores de , e portanto é LD. Em outras palavras, se dois dos vetores são colineares, não há como os três serem LI. - Conclusão: a afirmação “então
pode ser LI” é falsa — na verdade, se é LD então não pode ser LI.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
não são colineares, então
é uma base de
.”
- Interpretação: “não são colineares” significa que não estão todos em uma mesma reta; isto é, não existe uma única reta que passa pelos três pontos-direção. Mas isso NÃO impede que os três estejam em um mesmo plano (coplanares).
- Em
, três vetores coplanares podem ser linearmente dependentes (por exemplo, o terceiro pode ser combinação linear dos dois primeiros). Portanto o fato de não serem colineares não garante LI nem que gerem . - Contraexemplo explícito (fácil de verificar na prova): tome
Esses três vetores não são colineares (não estão na mesma reta), mas estão coplanares (têm terceira coordenada ). Além disso , logo os três são LD e não formam base de . - Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
e
são todos LIs, então
é uma base de
.”
- A condição "
todos LIs" significa que cada par de vetores é LI, isto é, nenhum par é colinear. Em termos: não é múltiplo de , não é múltiplo de e não é múltiplo de . - Mesmo com todos os pares LI, ainda é possível que o terceiro vetor seja combinação linear dos outros dois (exatamente como no contraexemplo do passo anterior). Por exemplo, com
temos: é LI; é LI (pois não é múltiplo de ); é LI (pois não é múltiplo de ). Assim são todos LI, mas é LD porque . - Portanto a condição de pares todos LI não garante que os três sejam LI simultaneamente.
- Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Sumarizando os resultados dos passos anteriores:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é falsa.
Logo todas as afirmativas são falsas.
Resposta
(G)