Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A é LD, então S pode ser LI.
II. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
III. Se A, B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
(A) Só II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I é verdadeira.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} distintos.
  • Definições auxiliares do enunciado:
    • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
    • B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}.
    • C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
  • Afirmações a avaliar:
    I. Se A é LD, então S pode ser LI.
    II. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
    III. Se A,B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
O objetivo: determinar quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Revisão das definições importantes (explicando passo a passo):
  • Linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial. Formalmente, \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LI se
    a_1\vec{u}_1+\cdots+a_k\vec{u}_k=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad a_1=\cdots=a_k=0.
    Aqui a_i são escalares reais.
  • Linearmente dependentes (LD): não LI, ou seja, existem escalares a_i, não todos nulos, tais que
    a_1\vec{u}_1+\cdots+a_k\vec{u}_k=\vec{0}.
    No caso de dois vetores \{\vec{u},\vec{w}\}, eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (i.e., são colineares): \vec{w}=c\vec{u} para algum c\in\mathbb{R}.
  • Base de \mathbb{R}^{3}: um conjunto de vetores que é LI e gera \mathbb{R}^{3}. Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de exatamente três vetores forma uma base se, e somente se, for LI (porque então sua dimensão é 3 e ele gera todo \mathbb{R}^3).
  • Observação útil: se dentre três vetores dois são colineares (um é múltiplo do outro), então os três são necessariamente LD, pois já existe dependência envolvendo apenas esses dois.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se A é LD, então S pode ser LI.”
  • A LD significa que \vec{v}_{2}=c\vec{v}_{1} para algum escalar c (ou, equivalentemente, \vec{v}_{1}=c'\vec{v}_{2}).
  • Isso já dá uma relação linear não trivial entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}: \vec{v}_{2}-c\vec{v}_{1}=\vec{0},com coeficientes ( -c,1,0 ) aplicados a (\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}). Logo existe uma combinação linear não trivial que anula um subconjunto dos vetores de S, e portanto S é LD. Em outras palavras, se dois dos vetores são colineares, não há como os três serem LI.
  • Conclusão: a afirmação “então S pode ser LI” é falsa — na verdade, se A é LD então S não pode ser LI.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
  • Interpretação: “não são colineares” significa que não estão todos em uma mesma reta; isto é, não existe uma única reta que passa pelos três pontos-direção. Mas isso NÃO impede que os três estejam em um mesmo plano (coplanares).
  • Em \mathbb{R}^{3}, três vetores coplanares podem ser linearmente dependentes (por exemplo, o terceiro pode ser combinação linear dos dois primeiros). Portanto o fato de não serem colineares não garante LI nem que gerem \mathbb{R}^{3}.
  • Contraexemplo explícito (fácil de verificar na prova): tome \vec{v}_{1}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,1,0).Esses três vetores não são colineares (não estão na mesma reta), mas estão coplanares (têm terceira coordenada 0). Além disso \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, logo os três são LD e não formam base de \mathbb{R}^{3}.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se A,B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
  • A condição " A,B,C todos LIs" significa que cada par de vetores é LI, isto é, nenhum par é colinear. Em termos: \vec{v}_{1} não é múltiplo de \vec{v}_{2}, \vec{v}_{1} não é múltiplo de \vec{v}_{3} e \vec{v}_{2} não é múltiplo de \vec{v}_{3}.
  • Mesmo com todos os pares LI, ainda é possível que o terceiro vetor seja combinação linear dos outros dois (exatamente como no contraexemplo do passo anterior). Por exemplo, com \vec{v}_{1}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,1,0),temos: A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI; B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\} é LI (pois \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_1); C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI (pois \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_2). Assim A,B,C são todos LI, mas S é LD porque \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2.
  • Portanto a condição de pares todos LI não garante que os três sejam LI simultaneamente.
  • Conclusão: a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Sumarizando os resultados dos passos anteriores:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Logo todas as afirmativas são falsas.

Resposta

(G)

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