Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Nem todo conjunto gerador de
com 5 vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.
III. Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera
.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
I. Nem todo conjunto gerador de
II. Todo subconjunto de
III. Nenhum subconjunto de
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um espaço vetorial com . - São propostas três afirmativas sobre subconjuntos de
:
I. Nem todo conjunto gerador decom 5 vetores é uma base de .
II. Todo subconjunto decom 6 vetores é linearmente dependente (LD).
III. Nenhum subconjunto decom 4 vetores gera .
O que o enunciado pede é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta dentre as dadas.
Passo 2
Vou lembrar e explicar os conceitos e fatos fundamentais que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
-
Definição: Um conjunto
gera (ou é gerador) se o fecho linear de é , isto é, toda pode ser escrita como combinação linear dos vetores de . -
Definição: Um conjunto
é linearmente independente (LI) se a única combinação linear
com
é aquela em que todos os escalares
são zero. Caso exista uma combinação não trivial que dá zero,
é linearmente dependente (LD).
-
Definição: Uma base de
é um conjunto que é ao mesmo tempo gerador de e linearmente independente. -
Fato essencial sobre dimensão (teorema básico de espaços vetoriais finito-dimensionais):
Se, então: - Qualquer conjunto de mais de
vetores em é linearmente dependente. - Nenhum conjunto de menos de
vetores pode gerar . - Qualquer conjunto gerador com exatamente
vetores é uma base de . - Qualquer conjunto linearmente independente com exatamente
vetores é uma base de .
- Qualquer conjunto de mais de
Vou justificar (de forma didática) os itens 1, 2 e 3 porque são exatamente os que usamos para avaliar as afirmativas I–III.
Passo 3
Prova (intuitiva e passo-a-passo) do fato 1: “qualquer conjunto de mais de
vetores é LD” quando
.
- Ideia: Uma base tem exatamente
vetores. Se tivermos vetores, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros (não há “espaço suficiente” para todos serem independentes). - Formalmente: Seja
uma base de . Tome . Cada pode ser escrito como combinação linear dos . Isso dá um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações lineares; sempre existe solução não-trivial, logo os são LD. - Conclusão: O fato 1 está garantido; aplicando aqui com
, qualquer conjunto de vetores em é LD.
Passo 4
Prova do fato 2: "nenhum conjunto de menos de
vetores gera
".
- Ideia: Uma base tem
vetores e gera . Se um conjunto tem menos de vetores e gerasse , dele poderia se extrair uma base com no máximo esse número — contradizendo que toda base tem exatamente vetores. - Mais direto: suponha
gera com . Então pode-se extrair de um subconjunto linearmente independente que também gera (tirando vetores dependentes até ficar independente). Esse subconjunto independente teria tamanho , o que contradiz que toda base tem tamanho . Portanto não existe tal . - Conclusão: Com
, nenhum subconjunto com vetores pode gerar .
Passo 5
Prova do fato 3: “qualquer conjunto gerador com exatamente
vetores é uma base”.
- Ideia: Se um conjunto
gera e tem exatamente vetores, então ele não pode ser linearmente dependente, porque se fosse dependente poder-se-ia remover um vetor mantendo o conjunto gerador, obtendo um conjunto gerador com menos de vetores — contradiz o fato 2. Logo é LI e gera , isto é, é uma base. - Passos claros:
- Seja
gerador de . - Se
fosse LD, existe que é combinação linear dos outros; então ainda geraria . - Isso construiria um conjunto gerador com
vetores, contradizendo que qualquer gerador tem vetores. - Portanto
é LI e, sendo gerador, é base.
- Seja
- Conclusão: No caso
, qualquer conjunto gerador com 5 vetores é, necessariamente, uma base.
Passo 6
Agora aplico esses resultados às afirmativas do enunciado:
-
I. “Nem todo conjunto gerador de
com 5 vetores é uma base de .” Pelas observações do Passo 5, todo conjunto gerador com exatamente vetores (aqui ) é uma base. Logo a afirmação I é falsa. -
II. “Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.” Pelo Passo 3, qualquer conjunto com mais do que vetores é LD. Como , a afirmação II é verdadeira. -
III. “Nenhum subconjunto de
com 4 vetores gera .” Pelo Passo 4, nenhum conjunto com menos de vetores pode gerar . Como , a afirmação III é verdadeira.
Portanto II e III são verdadeiras; I é falsa.
Passo 7
Interpretação final: entre as alternativas dadas, aquela que diz “Só II e III são verdadeiras” é a correta.
Resposta
(C)