Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Nem todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.
II. Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.
III. Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V é um espaço vetorial com \dim V = 5.
  • São propostas três afirmativas sobre subconjuntos de V:
    I. Nem todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.
    II. Todo subconjunto de V com 6 vetores é linearmente dependente (LD).
    III. Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.
O que o enunciado pede é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta dentre as dadas.

Passo 2

Vou lembrar e explicar os conceitos e fatos fundamentais que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Definição: Um conjunto S\subset V gera V (ou é gerador) se o fecho linear de S é V, isto é, toda v\in V pode ser escrita como combinação linear dos vetores de S.
  • Definição: Um conjunto S\subset V é linearmente independente (LI) se a única combinação linear
\alpha_1 s_1 + \alpha_2 s_2 + \cdots + \alpha_k s_k = 0
com s_i\in S é aquela em que todos os escalares \alpha_i são zero. Caso exista uma combinação não trivial que dá zero, S é linearmente dependente (LD).
  • Definição: Uma base de V é um conjunto que é ao mesmo tempo gerador de V e linearmente independente.
  • Fato essencial sobre dimensão (teorema básico de espaços vetoriais finito-dimensionais):
    Se \dim V = n, então:
    1. Qualquer conjunto de mais de n vetores em V é linearmente dependente.
    2. Nenhum conjunto de menos de n vetores pode gerar V.
    3. Qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é uma base de V.
    4. Qualquer conjunto linearmente independente com exatamente n vetores é uma base de V.
Vou justificar (de forma didática) os itens 1, 2 e 3 porque são exatamente os que usamos para avaliar as afirmativas I–III.

Passo 3

Prova (intuitiva e passo-a-passo) do fato 1: “qualquer conjunto de mais de n vetores é LD” quando \dim V=n.
  • Ideia: Uma base tem exatamente n vetores. Se tivermos n+1 vetores, um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros (não há “espaço suficiente” para todos serem independentes).
  • Formalmente: Seja B=\{b_1,\dots,b_n\} uma base de V. Tome S=\{v_1,\dots,v_{n+1}\}\subset V. Cada v_j pode ser escrito como combinação linear dos b_i. Isso dá um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações lineares; sempre existe solução não-trivial, logo os v_j são LD.
  • Conclusão: O fato 1 está garantido; aplicando aqui com n=5, qualquer conjunto de 6 vetores em V é LD.

Passo 4

Prova do fato 2: "nenhum conjunto de menos de n vetores gera V".
  • Ideia: Uma base tem n vetores e gera V. Se um conjunto tem menos de n vetores e gerasse V, dele poderia se extrair uma base com no máximo esse número — contradizendo que toda base tem exatamente n vetores.
  • Mais direto: suponha S=\{s_1,\dots,s_k\} gera V com k<n. Então pode-se extrair de S um subconjunto linearmente independente que também gera V (tirando vetores dependentes até ficar independente). Esse subconjunto independente teria tamanho \le k < n, o que contradiz que toda base tem tamanho n. Portanto não existe tal S.
  • Conclusão: Com n=5, nenhum subconjunto com 4 vetores pode gerar V.

Passo 5

Prova do fato 3: “qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é uma base”.
  • Ideia: Se um conjunto G gera V e tem exatamente n vetores, então ele não pode ser linearmente dependente, porque se fosse dependente poder-se-ia remover um vetor mantendo o conjunto gerador, obtendo um conjunto gerador com menos de n vetores — contradiz o fato 2. Logo G é LI e gera V, isto é, é uma base.
  • Passos claros:
    1. Seja G=\{g_1,\dots,g_n\} gerador de V.
    2. Se G fosse LD, existe g_j que é combinação linear dos outros; então G\setminus\{g_j\} ainda geraria V.
    3. Isso construiria um conjunto gerador com n-1 vetores, contradizendo que qualquer gerador tem \ge n vetores.
    4. Portanto G é LI e, sendo gerador, é base.
  • Conclusão: No caso \dim V=5, qualquer conjunto gerador com 5 vetores é, necessariamente, uma base.

Passo 6

Agora aplico esses resultados às afirmativas do enunciado:
  • I. “Nem todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.” Pelas observações do Passo 5, todo conjunto gerador com exatamente n vetores (aqui n=5) é uma base. Logo a afirmação I é falsa.
  • II. “Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.” Pelo Passo 3, qualquer conjunto com mais do que \dim V vetores é LD. Como 6>5, a afirmação II é verdadeira.
  • III. “Nenhum subconjunto de V com 4 vetores gera V.” Pelo Passo 4, nenhum conjunto com menos de \dim V vetores pode gerar V. Como 4<5, a afirmação III é verdadeira.
Portanto II e III são verdadeiras; I é falsa.

Passo 7

Interpretação final: entre as alternativas dadas, aquela que diz “Só II e III são verdadeiras” é a correta.

Resposta

(C)

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