Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-1
-42.8
-2
-5
-23.9
-1
2
3.1
0
2
7.7
1
2
3.3
2
3
-10.0
3
1
-39.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -392.9
(B) -391.9
(C) -390.9
(D) -389.9
(E) -388.9
(F) -387.9
(G) -386.9
(H) -385.9
Passo 1
O enunciado dá um modelo matemático para a grandeza Z:
Z = a x^{2} + b y + c,
onde a, b e c são parâmetros a determinar a partir de 7 medições. Os dados fornecidos são:
Ajustar os parâmetros a, b e c pelo critério dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos resíduos entre as medições de Z e o modelo).
Com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9).
Comparar com as opções dadas e escolher a melhor aproximação.
Todas as informações relevantes da tabela foram listadas acima. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Como o modelo é linear nos parâmetros a,b,c (mesmo tendo x^{2} como preditor), formamos um sistema normal de regressão linear. Vou explicar o procedimento passo a passo.
Definimos a matriz de desenho X e o vetor de observações \mathbf{z}. Cada linha de X contém os preditores correspondentes a uma medição, aqui são x^{2}, y e a constante 1. Explicitamente, para as 7 medidas:
A estimativa de mínimos quadrados dos parâmetros \boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{T} satisfaz as equações normais
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta}=X^{T}\mathbf{z}.
Vou montar X^{T}X e X^{T}\mathbf{z} calculando as somas necessárias a partir dos dados. Para isso, primeiro calculo, para cada medição, x^{2}, x^{4}, x^{2}y, y^{2}, x^{2}Z e yZ. Usei os valores da tabela dada.
Os valores por linha (peguei-os diretamente da tabela do enunciado) são:
Tornando zero o coeficiente de a em (2): acrescento \tfrac{1}{49} de (1) a (2) (pois -4/196=-1/49):
isso dá a nova linha 2:0\cdot a + \Big(48-\tfrac{4}{49}\Big)b + \Big(4+\tfrac{28}{49}\Big)c = 121{,}4 - \tfrac{866{,}3}{49}.Calculando numericamente:48-\tfrac{4}{49}=47{,}9183673469,\quad 4+\tfrac{28}{49}=4{,}5714285714,
121{,}4-\tfrac{866{,}3}{49}=103{,}7204081633.
Tornando zero o coeficiente de a em (3): subtraio \tfrac{1}{7} de (1) de (3) (pois 28/196=1/7):
isso dá a nova linha 3:0\cdot a + \Big(4+\tfrac{4}{7}\Big)b + \Big(7-\tfrac{28}{7}\Big)c = -101{,}7 + \tfrac{866{,}3}{7}.Numericamente:4+\tfrac{4}{7}=4{,}5714285714,\quad 7-4=3,
-101{,}7+\tfrac{866{,}3}{7}=22{,}0571428571.
Após essas operações, o sistema triangularizado (nas duas últimas equações) é: