Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -1 -42.8
-2 -5 -23.9
-1 2 3.1
0 2 7.7
1 2 3.3
2 3 -10.0
3 1 -39.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -392.9
(B) -391.9
(C) -390.9
(D) -389.9
(E) -388.9
(F) -387.9
(G) -386.9
(H) -385.9

Passo 1

O enunciado dá um modelo matemático para a grandeza Z:
Z = a x^{2} + b y + c,
onde a, b e c são parâmetros a determinar a partir de 7 medições. Os dados fornecidos são:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -1 & -42{,}8\\\\ -2 & -5 & -23{,}9\\\\ -1 & 2 & 3{,}1\\\\ 0 & 2 & 7{,}7\\\\ 1 & 2 & 3{,}3\\\\ 2 & 3 & -10{,}0\\\\ 3 & 1 & -39{,}1 \end{array}
O que o problema pede:
  • Ajustar os parâmetros a, b e c pelo critério dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos resíduos entre as medições de Z e o modelo).
  • Com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9).
  • Comparar com as opções dadas e escolher a melhor aproximação.
Todas as informações relevantes da tabela foram listadas acima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Como o modelo é linear nos parâmetros a,b,c (mesmo tendo x^{2} como preditor), formamos um sistema normal de regressão linear. Vou explicar o procedimento passo a passo.
Definimos a matriz de desenho X e o vetor de observações \mathbf{z}. Cada linha de X contém os preditores correspondentes a uma medição, aqui são x^{2}, y e a constante 1. Explicitamente, para as 7 medidas:
X=\begin{pmatrix} x_{1}^{2} & y_{1} & 1\\\ x_{2}^{2} & y_{2} & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots\\\ x_{7}^{2} & y_{7} & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{z}=\begin{pmatrix}Z_{1}\Z_{2}\\\ \vdots \\\ Z_{7}\end{pmatrix}.
A estimativa de mínimos quadrados dos parâmetros \boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{T} satisfaz as equações normais
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta}=X^{T}\mathbf{z}.
Vou montar X^{T}X e X^{T}\mathbf{z} calculando as somas necessárias a partir dos dados. Para isso, primeiro calculo, para cada medição, x^{2}, x^{4}, x^{2}y, y^{2}, x^{2}Z e yZ. Usei os valores da tabela dada.
Os valores por linha (peguei-os diretamente da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} x & y & Z & x^{2} & x^{4} & x^{2}y & x^{2}Z\\hline -3 & -1 & -42{,}8 & 9 & 81 & -9 & -385{,}2\\\\ -2 & -5 & -23{,}9 & 4 & 16 & -20 & -95{,}6\\\\ -1 & 2 & 3{,}1 & 1 & 1 & 2 & 3{,}1\\\\ 0 & 2 & 7{,}7 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 3{,}3 & 1 & 1 & 2 & 3{,}3\\\\ 2 & 3 & -10{,}0 & 4 & 16 & 12 & -40{,}0\\\\ 3 & 1 & -39{,}1 & 9 & 81 & 9 & -351{,}9 \end{array}
Agora somo as colunas necessárias:
\begin{aligned} \sum x^{4} &= 81+16+1+0+1+16+81=196,\\\ \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9=28,\\\ \sum x^{2}y &= -9-20+2+0+2+12+9=-4,\\\ \sum y^{2} &= 1+25+4+4+4+9+1=48,\\\ \sum y &= -1-5+2+2+2+3+1=4,\\\ \sum Z &= -42{,}8-23{,}9+3{,}1+7{,}7+3{,}3-10{,}0-39{,}1=-101{,}7,\\\ \sum x^{2}Z &= -385{,}2-95{,}6+3{,}1+0+3{,}3-40{,}0-351{,}9=-866{,}3,\\\ \sum yZ &= 42{,}8+119{,}5+6{,}2+15{,}4+6{,}6-30{,}0-39{,}1=121{,}4. \end{aligned}
Com isso, a matriz X^{T}X e o vetor X^{T}\mathbf{z} ficam:
X^{T}X=\begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -4 & 28\\[4pt] -4 & 48 & 4\\[4pt] 28 & 4 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}\mathbf{z}= \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z\\[4pt] \sum yZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -866{,}3\\[4pt] 121{,}4\\[4pt] -101{,}7 \end{pmatrix}.
As equações normais são então
\begin{pmatrix} 196 & -4 & 28\\\\ -4 & 48 & 4\\\\ 28 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-866{,}3\\\\ 121{,}4\\\\ -101{,}7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora resolvo o sistema linear acima por eliminação de Gauss (vou mostrar os passos e os cálculos numéricos).
Sistema expandido:
\begin{aligned} 196a-4b+28c &= -866{,}3 \quad (1)\\\\ -4a+48b+4c &= 121{,}4 \quad (2)\\\\ 28a+4b+7c &= -101{,}7 \quad (3) \end{aligned}
Eliminação da coluna a:
  • Tornando zero o coeficiente de a em (2): acrescento \tfrac{1}{49} de (1) a (2) (pois -4/196=-1/49):
    isso dá a nova linha 2: 0\cdot a + \Big(48-\tfrac{4}{49}\Big)b + \Big(4+\tfrac{28}{49}\Big)c = 121{,}4 - \tfrac{866{,}3}{49}.Calculando numericamente: 48-\tfrac{4}{49}=47{,}9183673469,\quad 4+\tfrac{28}{49}=4{,}5714285714,
121{,}4-\tfrac{866{,}3}{49}=103{,}7204081633.
  • Tornando zero o coeficiente de a em (3): subtraio \tfrac{1}{7} de (1) de (3) (pois 28/196=1/7):
    isso dá a nova linha 3: 0\cdot a + \Big(4+\tfrac{4}{7}\Big)b + \Big(7-\tfrac{28}{7}\Big)c = -101{,}7 + \tfrac{866{,}3}{7}.Numericamente: 4+\tfrac{4}{7}=4{,}5714285714,\quad 7-4=3,
-101{,}7+\tfrac{866{,}3}{7}=22{,}0571428571.
Após essas operações, o sistema triangularizado (nas duas últimas equações) é:
\begin{aligned} (2')\quad &47{,}9183673469\,b + 4{,}5714285714\,c = 103{,}7204081633,\\\ (3')\quad &4{,}5714285714\,b + 3\,c = 22{,}0571428571. \end{aligned}

Passo 4

Agora resolvo o sistema 2'- 3' para b e c. É um 2\times 2.
Calculo o determinante:
\Delta = \begin{vmatrix}47{,}9183673469 & 4{,}5714285714\\[4pt]4{,}5714285714 & 3\end{vmatrix} =47{,}9183673469\cdot 3 - 4{,}5714285714^{2} =122{,}8571428571\quad(\text{aprox.}).
Usando a fórmula de Cramer:
b=\frac{\begin{vmatrix}103{,}7204081633 & 4{,}5714285714\\[4pt]22{,}0571428571 & 3\end{vmatrix}}{\Delta} =\frac{103{,}7204081633\cdot 3 - 4{,}5714285714\cdot 22{,}0571428571}{122{,}8571428571}.
Calculei numericamente:
103{,}7204081633\cdot 3 = 311{,}1612244899,
4{,}5714285714\cdot 22{,}0571428571 \approx 100{,}8326530612,
\Rightarrow b \approx \frac{311{,}1612244899 - 100{,}8326530612}{122{,}8571428571} = \frac{210{,}3285714287}{122{,}8571428571} \approx 1{,}7119767441860465.
Com b em mãos, obtenho c a partir de (3’):
c=\frac{22{,}0571428571 - 4{,}5714285714\cdot b}{3}.
Substituindo:
4{,}5714285714\cdot b \approx 7{,}8261794019,
c \approx \frac{22{,}0571428571 - 7{,}8261794019}{3} \approx 4{,}743654485049835.
Portanto:
b \approx 1{,}7119767441860465,\qquad c \approx 4{,}743654485049835.]

Passo 5

Agora calculo a usando a equação (1):
196a = -866{,}3 + 4b - 28c,
portanto
a = \frac{-866{,}3 + 4b - 28c}{196}.
Substituindo os valores numéricos obtidos:
4b \approx 6{,}847906976744186,\quad 28c \approx 132{,}82232558139538,
-866{,}3 + 4b - 28c \approx -992{,}2744186046512,
a \approx \frac{-992{,}2744186046512}{196}\approx -5{,}062624286758.
Resumo dos parâmetros ajustados (aproximações numéricas):
a \approx -5{,}0626242868,\qquad b \approx 1{,}7119767442,\qquad c \approx 4{,}7436544850.

Passo 6

Calculo agora o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(9,9):
Z(9,9)=a\cdot 9^{2} + b\cdot 9 + c = a\cdot 81 + 9b + c.
Substituindo os valores:
a\cdot 81 \approx -5{,}062624286758\times 81 \approx -410{,}072567227398,
9b \approx 9\times 1{,}7119767441860465 \approx 15{,}407790697674418,
c \approx 4{,}743654485049835.
Somando:
Z(9,9)\approx -410{,}072567227398 + 15{,}407790697674418 + 4{,}743654485049835 \approx -389{,}9211220446737.
Arredondando para uma casa decimal (como as opções fornecidas estão em uma casa decimal):
Z(9,9)\approx -389{,}9.
Comparando com as alternativas listadas, a melhor aproximação é -389{,}9.

Resposta

(D) -389.9

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