Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -3 & 1 & 6 \\\\ -2 & -1 & 3 & 10 \\\\ 2 & 0 & 2 & -7 \\\\ 2 & 4 & -5 & -19 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução por mínimos quadrados da equação A\vec{x}=\vec{b}, e pergunta qual é a primeira entrada x_{1} dessa solução (há opções de múltipla escolha). A matriz aumentada fornecida representa A e \vec{b}. Vou listar explicitamente A e \vec{b} (peguei estes números da matriz aumentada do enunciado):
A=\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 4 & -5 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}6\\[2pt]10\\[2pt]-7\\[2pt]-19\end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar a solução \vec{x}\in\mathbb{R}^{3} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2} e, em particular, informar x_{1}.]

Passo 2

Método (idéia principal) — explicação didática:
  • A solução por mínimos quadrados para um sistema sobredeterminado A\vec{x}\approx\vec{b} satisfaz as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
  • Aqui A^{T}A é uma matriz 3\times3 simétrica e A^{T}\vec{b} é um vetor em \mathbb{R}^3.
  • Encontrar a solução por mínimos quadrados equivale a resolver esse sistema linear. Uma forma prática é calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente e resolver por eliminação (ou inversa, quando conveniente).
    Vou aplicar exatamente isso, passo a passo, sem pular contas.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Cada entrada (i,j) de A^{T}A é o produto interno da coluna i de A com a coluna j de A. Faço as somas linha a linha (pegando os elementos de A listados no Passo 1).
(A^{T}A)_{11} = (-1)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+2^{2}=1+4+4+4=13,
(A^{T}A)_{12} = (-1)(-3)+(-2)(-1)+2\cdot0+2\cdot4=3+2+0+8=13,
(A^{T}A)_{13} = (-1)(1)+(-2)(3)+2\cdot2+2(-5)=-1-6+4-10=-13,
(A^{T}A)_{22} = (-3)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+4^{2}=9+1+0+16=26,
(A^{T}A)_{23} = (-3)(1)+(-1)(3)+0\cdot2+4(-5)=-3-3+0-20=-26,
(A^{T}A)_{33} = 1^{2}+3^{2}+2^{2}+(-5)^{2}=1+9+4+25=39.
Como A^{T}A é simétrica, completo a matriz:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 13 & 13 & -13\\[4pt] 13 & 26 & -26\\[4pt] -13 & -26 & 39 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Cada entrada é a soma dos produtos dos componentes das linhas de A pelo correspondente em \vec{b}:
(A^{T}\vec{b})_{1}=(-1)\cdot6+(-2)\cdot10+2\cdot(-7)+2\cdot(-19)=-6-20-14-38=-78,
(A^{T}\vec{b})_{2}=(-3)\cdot6+(-1)\cdot10+0\cdot(-7)+4\cdot(-19)=-18-10+0-76=-104,
(A^{T}\vec{b})_{3}=1\cdot6+3\cdot10+2\cdot(-7)+(-5)\cdot(-19)=6+30-14+95=117.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-78\\[2pt]-104\\[2pt]117\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar e simplificar o sistema normal:
\begin{pmatrix} 13 & 13 & -13\\[4pt] 13 & 26 & -26\\[4pt] -13 & -26 & 39 \end{pmatrix}\vec{x}= \begin{pmatrix}-78\\[2pt]-104\\[2pt]117\end{pmatrix}.
Note que todos os coeficientes da matriz à esquerda são múltiplos de 13. Divido a equação inteira por 13 para simplificar (isso não altera a solução):
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -2\\[4pt] -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}}_{=:N}\vec{x}= \begin{pmatrix}-6\\[2pt]-8\\[2pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver o sistema reduzido N\vec{x}=\vec{c}\) com \(\vec{c}=(-6,-8,9)^{T}\). Escrevo as equações (cada linha corresponde a uma equação): \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=-6,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-8,\\[4pt] -\,x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=9. \end{cases}
Faço eliminação de forma direta e limpa:
  • Subtraindo a primeira equação da segunda: (x_{1}+2x_{2}-2x_{3})-(x_{1}+x_{2}-x_{3})\] dá \[x_{2}-x_{3}=-2. \tag{A}\] - Somando a primeira com a terceira: \((x_{1}+x_{2}-x_{3})+(-x_{1}-2x_{2}+3x_{3})
- x_{2}+2x_{3}=3. \tag{B}
Agora resolvo as duas equações em x_{2},x_{3}:
  • Da (A): x_{2}=x_{3}-2.
  • Substituo na (B): -(x_{3}-2)+2x_{3}=3\Rightarrow -x_{3}+2+2x_{3}=3\Rightarrow x_{3}+2=3\Rightarrow x_{3}=1.
  • Então x_{2}=x_{3}-2=1-2=-1.
  • Finalmente uso a primeira equação para x_{1}:
x_{1}+x_{2}-x_{3}=-6\quad\Rightarrow\quad x_{1}+(-1)-1=-6\quad\Rightarrow\quad x_{1}-2=-6.
Portanto x_{1}=-4.]

Resposta

(A) -4

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