Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede a solução por mínimos quadrados da equação A\vec{x}=\vec{b}, e pergunta qual é a primeira entrada x_{1} dessa solução (há opções de múltipla escolha). A matriz aumentada fornecida representa A e \vec{b}. Vou listar explicitamente A e \vec{b} (peguei estes números da matriz aumentada do enunciado):
O que é pedido: encontrar a solução \vec{x}\in\mathbb{R}^{3} que minimiza \|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2} e, em particular, informar x_{1}.]
Passo 2
Método (idéia principal) — explicação didática:
A solução por mínimos quadrados para um sistema sobredeterminado A\vec{x}\approx\vec{b} satisfaz as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T}A é uma matriz 3\times3 simétrica e A^{T}\vec{b} é um vetor em \mathbb{R}^3.
Encontrar a solução por mínimos quadrados equivale a resolver esse sistema linear. Uma forma prática é calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente e resolver por eliminação (ou inversa, quando conveniente).
Vou aplicar exatamente isso, passo a passo, sem pular contas.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Cada entrada (i,j) de A^{T}A é o produto interno da coluna i de A com a coluna j de A. Faço as somas linha a linha (pegando os elementos de A listados no Passo 1).
Resolver o sistema reduzido N\vec{x}=\vec{c}\) com \(\vec{c}=(-6,-8,9)^{T}\). Escrevo as equações (cada linha corresponde a uma equação):
\[\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=-6,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-8,\\[4pt] -\,x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=9. \end{cases}
Faço eliminação de forma direta e limpa:
Subtraindo a primeira equação da segunda: (x_{1}+2x_{2}-2x_{3})-(x_{1}+x_{2}-x_{3})\] dá
\[x_{2}-x_{3}=-2. \tag{A}\]
- Somando a primeira com a terceira: \((x_{1}+x_{2}-x_{3})+(-x_{1}-2x_{2}+3x_{3}) dá
- x_{2}+2x_{3}=3. \tag{B}
Agora resolvo as duas equações em x_{2},x_{3}:
Da (A): x_{2}=x_{3}-2.
Substituo na (B): -(x_{3}-2)+2x_{3}=3\Rightarrow -x_{3}+2+2x_{3}=3\Rightarrow x_{3}+2=3\Rightarrow x_{3}=1.