Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=2 x-2 y\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • O enunciado traz três afirmativas que devemos julgar como verdadeiras ou falsas:
    I. O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.
    II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
    III. \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x-2y\right\} é subespaço vetorial.
  • A pergunta é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? Devemos escolher a alternativa correta entre (A) a (H).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com cuidado o que significa “subespaço vetorial”. Uma parte S de um espaço vetorial V é subespaço se satisfaz três propriedades (pode-se resumir em duas se já sabemos que S não é vazia):
  • S contém o vetor zero, ou seja \overrightarrow{0}\in S.
  • S é fechada sob adição: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
  • S é fechada sob multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in S.
Essas condições são importantes porque qualquer subespaço deve ser “fechado” sob essas operações. Uma consequência imediata: se um conjunto não contém \overrightarrow{0} ou falha em qualquer das fechamentos acima, ele não é subespaço.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, não é subespaço vetorial.”
Explicação teórica (bem didática):
  • Seja A uma matriz linear e considere a função linear associada T(\vec{x})=A\vec{x}.
  • O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b} é \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{b}\}. Se existir uma solução particular \vec{x}_p, então o conjunto solução é \{\vec{x}_p + \vec{v} \mid \vec{v}\in\ker(A)\},ou seja, é uma translação do núcleo \ker(A).
  • Uma translação de um subespaço (a menos da translação nula) normalmente não passa pela origem. Em particular, se \vec{b}\neq\overrightarrow{0} e existem soluções, nenhuma solução \vec{x} satisfaz A\vec{x}=\overrightarrow{0} (a menos que \vec{b}=\overrightarrow{0}), portanto o conjunto solução não contém \overrightarrow{0}.
  • Como um subespaço deve conter \overrightarrow{0}, qualquer conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\overrightarrow{0} não pode ser subespaço.
Exemplo simples e muito concreto:
  • Tome A=[1\\\ 0] (uma linha) e \vec{b}=[1]. As soluções são todos os vetores (1,y). O vetor zero (0,0) não está entre eles, e somar duas soluções (1,y_1)+(1,y_2)=(2,y_1+y_2) não é solução (porque a primeira coordenada deixa de ser 1). Logo falha a fechadura por adição e por escalares também: 2(1,y)=(2,2y) não é solução. Portanto o conjunto não é subespaço.
Conclusão do Passo: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é “imagem” de uma transformação linear? Se T:V\to W é linear, a imagem \text{Im}(T) é o conjunto \{T(v)\mid v\in V\}. Um fato fundamental em álgebra linear é:
  • Se T é linear então \text{Im}(T) é sempre um subespaço de W. A prova é direta usando linearidade:
    • Se u=T(v_1) e w=T(v_2) então u+w=T(v_1)+T(v_2)=T(v_1+v_2), então u+w\in\text{Im}(T).
    • Se \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u=\alpha T(v_1)=T(\alpha v_1)\in\text{Im}(T).
    • E \overrightarrow{0}=T(\overrightarrow{0})\in\text{Im}(T).
Agora, o que é uma reflexão? Em álgebra linear costuma-se chamar de “reflexão” a transformação que espelha vetores em relação a um subespaço que passa pela origem (por exemplo, reflexão em relação a um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3). Essa reflexão é uma transformação linear (satisfaz R(\alpha u+\beta v)=\alpha R(u)+\beta R(v)). Para esse tipo de reflexão, como é uma transformação linear, sua imagem é um subespaço por causa do fato acima.
Observação sobre ambiguidade (curta e prática): existe também o conceito geométrico de “reflexão em torno de uma reta/linha/hiperplano que não passa pela origem” (uma reflexão afim), que não é linear (pois não preserva a origem) — nesse caso a imagem não se encaixa na teoria de imagens de transformações lineares. Contudo, o enunciado, em contexto de álgebra linear, costuma assumir reflexões lineares (subespaço fixo passando pela origem). Além disso, muitas reflexões lineares são invertíveis, então a imagem é o espaço todo, que é certamente um subespaço.
Conclusão do Passo: assumindo a reflexão linear (o que é o entendimento usual em álgebra linear), a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III: \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x-2y\right\} é subespaço vetorial.
Vamos verificar as três condições para o conjunto S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x-2y\}.
  1. Contém o vetor zero:
  • Substituindo (0,0,0) temos 0 = 2\cdot 0 - 2\cdot 0, ou seja \overrightarrow{0}\in S.
  1. Fechadura pela adição:
  • Tome u=(x_1,y_1,z_1)\in S e v=(x_2,y_2,z_2)\in S. Então z_1=2x_1-2y_1 e z_2=2x_2-2y_2.
  • A soma é u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2). Para verificar se u+v\in S devemos checar se a terceira coordenada satisfaz a equação: z_1+z_2 = (2x_1-2y_1)+(2x_2-2y_2)=2(x_1+x_2)-2(y_1+y_2),que é exatamente a condição para (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) pertencer a S. Logo fechadura por adição vale.
  1. Fechadura por multiplicação escalar:
  • Tome u=(x,y,z)\in S e \alpha\in\mathbb{R}. Como z=2x-2y, temos \alpha z = \alpha(2x-2y)=2(\alpha x)-2(\alpha y),então \alpha u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z) satisfaz a equação e está em S.
Como as três propriedades são satisfeitas, S é subespaço vetorial. Uma forma alternativa e útil para a prova: perceber que S é o conjunto solução da equação linear -2x + 2y + z = 0, ou seja o núcleo de uma aplicação linear \ell(x,y,z)=-2x+2y+z; núcleos são sempre subespaços.
Conclusão do Passo: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Juntando as conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira (na interpretação padrão de reflexão linear).
  • III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Resposta

H

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