Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
-
O enunciado traz três afirmativas que devemos julgar como verdadeiras ou falsas:
I. O conjunto solução do sistema, onde , não é subespaço vetorial.
II. A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III.é subespaço vetorial. -
A pergunta é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? Devemos escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com cuidado o que significa “subespaço vetorial”. Uma parte
de um espaço vetorial
é subespaço se satisfaz três propriedades (pode-se resumir em duas se já sabemos que
não é vazia):
-
contém o vetor zero, ou seja . -
é fechada sob adição: se e , então . -
é fechada sob multiplicação escalar: se e , então .
Essas condições são importantes porque qualquer subespaço deve ser “fechado” sob essas operações. Uma consequência imediata: se um conjunto não contém
ou falha em qualquer das fechamentos acima, ele não é subespaço.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “O conjunto solução do sistema
, onde
, não é subespaço vetorial.”
Explicação teórica (bem didática):
- Seja
uma matriz linear e considere a função linear associada . - O conjunto solução do sistema
é . Se existir uma solução particular , então o conjunto solução é ou seja, é uma translação do núcleo . - Uma translação de um subespaço (a menos da translação nula) normalmente não passa pela origem. Em particular, se
e existem soluções, nenhuma solução satisfaz (a menos que ), portanto o conjunto solução não contém . - Como um subespaço deve conter
, qualquer conjunto solução de com não pode ser subespaço.
Exemplo simples e muito concreto:
- Tome
(uma linha) e . As soluções são todos os vetores . O vetor zero não está entre eles, e somar duas soluções não é solução (porque a primeira coordenada deixa de ser ). Logo falha a fechadura por adição e por escalares também: não é solução. Portanto o conjunto não é subespaço.
Conclusão do Passo: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é “imagem” de uma transformação linear? Se
é linear, a imagem
é o conjunto
. Um fato fundamental em álgebra linear é:
- Se
é linear então é sempre um subespaço de . A prova é direta usando linearidade: - Se
e então , então . - Se
então . - E
.
- Se
Agora, o que é uma reflexão? Em álgebra linear costuma-se chamar de “reflexão” a transformação que espelha vetores em relação a um subespaço que passa pela origem (por exemplo, reflexão em relação a um plano que passa pela origem em
). Essa reflexão é uma transformação linear (satisfaz
). Para esse tipo de reflexão, como é uma transformação linear, sua imagem é um subespaço por causa do fato acima.
Observação sobre ambiguidade (curta e prática): existe também o conceito geométrico de “reflexão em torno de uma reta/linha/hiperplano que não passa pela origem” (uma reflexão afim), que não é linear (pois não preserva a origem) — nesse caso a imagem não se encaixa na teoria de imagens de transformações lineares. Contudo, o enunciado, em contexto de álgebra linear, costuma assumir reflexões lineares (subespaço fixo passando pela origem). Além disso, muitas reflexões lineares são invertíveis, então a imagem é o espaço todo, que é certamente um subespaço.
Conclusão do Passo: assumindo a reflexão linear (o que é o entendimento usual em álgebra linear), a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
é subespaço vetorial.
Vamos verificar as três condições para o conjunto
.
- Contém o vetor zero:
- Substituindo
temos , ou seja .
- Fechadura pela adição:
- Tome
e . Então e . - A soma é
. Para verificar se devemos checar se a terceira coordenada satisfaz a equação: que é exatamente a condição para pertencer a . Logo fechadura por adição vale.
- Fechadura por multiplicação escalar:
- Tome
e . Como , temos então satisfaz a equação e está em .
Como as três propriedades são satisfeitas,
é subespaço vetorial. Uma forma alternativa e útil para a prova: perceber que
é o conjunto solução da equação linear
, ou seja o núcleo de uma aplicação linear
; núcleos são sempre subespaços.
Conclusão do Passo: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Juntando as conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira (na interpretação padrão de reflexão linear).
- III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Resposta
H