Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & -2 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 & 3 \\\\ 1 & -1 & -5 & 21 \\\\ -2 & -3 & 0 & 3 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear sob a forma de matriz aumentada; os coeficientes e o vetor de termos independentes (peguei tudo da matriz aumentada) são:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -5\\[4pt] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]21\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O que o problema pede: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, informar o valor de x_{3} (a terceira componente de \vec{x}). Nada mais será assumido além desses dados.]

Passo 2

Explicação didática do método que vou usar (mínimos quadrados via equações normais):
  • A ideia dos mínimos quadrados é escolher \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos erros, isto é minimizar a função
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
  • Para minimizar f(\vec{x}) em relação a \vec{x} calculamos o gradiente e igualamos a zero. Isso leva às chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
  • Aqui A^{T} é a matriz transposta de A. A matriz A^{T}A é simétrica 3\times3 e as equações normais formam um sistema quadrado que podemos resolver por eliminação para obter a solução de mínimos quadrados. Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente.

Passo 3

Calcular A^{T}A. Cada entrada (i,j) de A^{T}A é a soma dos produtos das entradas da coluna i de A pela coluna j de A. Faço isso linha a linha (pegando os coeficientes da matriz fornecida):
A^{T}A=\begin{pmatrix} \sum a_{k1}^2 & \sum a_{k1}a_{k2} & \sum a_{k1}a_{k3}\\[6pt] \sum a_{k2}a_{k1} & \sum a_{k2}^2 & \sum a_{k2}a_{k3}\\[6pt] \sum a_{k3}a_{k1} & \sum a_{k3}a_{k2} & \sum a_{k3}^2 \end{pmatrix}.
Agora computo os somatórios (somando sobre as 4 linhas):
\begin{aligned} \sum a_{k1}^2 &= 2^{2}+1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}=4+1+1+4=10,\\[4pt] \sum a_{k1}a_{k2} &= 2\cdot3 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot(-3)=6-1-1+6=10,\\[4pt] \sum a_{k1}a_{k3} &= 2\cdot(-2) + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-5) + (-2)\cdot0=-4-1-5+0=-10,\\[4pt] \sum a_{k2}^2 &= 3^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}=9+1+1+9=20,\\[4pt] \sum a_{k2}a_{k3} &= 3\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-5)+(-3)\cdot0=-6+1+5+0=0,\\[4pt] \sum a_{k3}^2 &= (-2)^{2}+(-1)^{2}+(-5)^{2}+0^{2}=4+1+25+0=30. \end{aligned}
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 10 & 10 & -10\\[4pt] 10 & 20 & 0\\[4pt] -10 & 0 & 30 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}\vec{b}. Cada componente é a soma dos produtos da correspondente coluna de A pelos elementos de \vec{b}:
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix} \sum a_{k1}b_{k}\\[4pt] \sum a_{k2}b_{k}\\[4pt] \sum a_{k3}b_{k} \end{pmatrix}.
Computando com os valores dados:
\begin{aligned} \sum a_{k1}b_{k} &= 2\cdot1 + 1\cdot3 + 1\cdot21 + (-2)\cdot3 = 2+3+21-6=20,\\[4pt] \sum a_{k2}b_{k} &= 3\cdot1 + (-1)\cdot3 + (-1)\cdot21 + (-3)\cdot3 = 3-3-21-9=-30,\\[4pt] \sum a_{k3}b_{k} &= (-2)\cdot1 + (-1)\cdot3 + (-5)\cdot21 + 0\cdot3 = -2-3-105+0=-110. \end{aligned}
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}20\\[4pt]-30\\[4pt]-110\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevo as equações normais A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}. Se \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, o sistema é
\begin{pmatrix} 10 & 10 & -10\\[4pt] 10 & 20 & 0\\[4pt] -10 & 0 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20\\[4pt]-30\\[4pt]-110\end{pmatrix}.
Para simplificar, divido cada equação por 10 (todas têm coeficientes múltiplos de 10), obtendo o sistema equivalente
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}= -3,\\[4pt] - x_{1}+3x_{3}= -11. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema por substituição/eliminacão de forma bem explícita:
  • Da segunda equação isolamos x_{1}\): \[x_{1}=-3-2x_{2}.
  • Substituo esse x_{1} na primeira equação:
(-3-2x_{2})+x_{2}-x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad -3 -x_{2}-x_{3}=2.
Isolando termos:
x_{2}+x_{3}=-5.
  • Substituo x_{1}=-3-2x_{2} na terceira equação:
-(-3-2x_{2})+3x_{3}=-11 \quad\Rightarrow\quad 3+2x_{2}+3x_{3}=-11,
que simplifica para
2x_{2}+3x_{3}=-14.
  • Agora resolvo o sistema em x_{2},x_{3}:
\begin{cases} x_{2}+x_{3}=-5,\\[4pt] 2x_{2}+3x_{3}=-14. \end{cases}
Multiplico a primeira equação por 2\]: \(2x_{2}+2x_{3}=-10. Subtraindo dessa a segunda equação:
(2x_{2}+3x_{3})-(2x_{2}+2x_{3})=-14-(-10)\quad\Rightarrow\quad x_{3}=-4.
  • Com x_{3}=-4, da x_{2}+x_{3}=-5 obtemos
x_{2}=-5-x_{3}=-5-(-4)=-1.
  • Finalmente x_{1}=-3-2x_{2}=-3-2(-1)=-3+2=-1.
Portanto a solução de mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-4\end{pmatrix},
e em particular \;x_{3}=-4.]

Passo 7

Comentário final rápido (estímulo): essa é a forma padrão para resolver problemas de mínimos quadrados quando A tem mais linhas que colunas. O passo-chave é montar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema quadrado resultante. Se quiser, eu faço o mesmo processo usando eliminação matricial passo a passo ou verifico o resíduo \|A\vec{x}-\vec{b}\| para praticar.

Resposta

-4

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