Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear sob a forma de matriz aumentada; os coeficientes e o vetor de termos independentes (peguei tudo da matriz aumentada) são:
O que o problema pede: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e, em particular, informar o valor de x_{3} (a terceira componente de \vec{x}). Nada mais será assumido além desses dados.]
Passo 2
Explicação didática do método que vou usar (mínimos quadrados via equações normais):
A ideia dos mínimos quadrados é escolher \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos erros, isto é minimizar a função
Para minimizar f(\vec{x}) em relação a \vec{x} calculamos o gradiente e igualamos a zero. Isso leva às chamadas equações normais:
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a matriz transposta de A. A matriz A^{T}A é simétrica 3\times3 e as equações normais formam um sistema quadrado que podemos resolver por eliminação para obter a solução de mínimos quadrados. Vou calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} explicitamente.
Passo 3
Calcular A^{T}A. Cada entrada (i,j) de A^{T}A é a soma dos produtos das entradas da coluna i de A pela coluna j de A. Faço isso linha a linha (pegando os coeficientes da matriz fornecida):
Comentário final rápido (estímulo): essa é a forma padrão para resolver problemas de mínimos quadrados quando A tem mais linhas que colunas. O passo-chave é montar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema quadrado resultante. Se quiser, eu faço o mesmo processo usando eliminação matricial passo a passo ou verifico o resíduo \|A\vec{x}-\vec{b}\| para praticar.