Pergunta específica: encontrar o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x} em mínimos quadrados.\
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada acima):
O que significa “solução nos mínimos quadrados”? Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é (tal como aqui) sobredeterminado (mais equações que incógnitas), talvez não exista \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. A ideia dos mínimos quadrados é escolher \vec{x} que minimize o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.\
Um resultado padrão (e que vamos usar) é que a solução de mínimos quadrados satisfaz as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Explico rapidamente: minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2 em \vec{x} leva, por derivação ou condição de ortogonalidade, exatamente a A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=\vec{0}, que é equivalente a A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Passo 3
Vamos formar explicitamente A^{T}A e A^{T}\vec{b}. Reescrevo A por colunas (cada coluna é um vetor de \mathbb{R}^4):
A entrada (i,j) de A^{T}A é (A^{T}A)_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{k i}a_{k j}. A entrada i de A^{T}\vec{b} é \sum_{k=1}^{4} a_{k i} b_k. Vou calcular termo a termo.]
Para simplificar, divido cada linha por 13 (todos os números da matriz e do vetor direito são múltiplos de 13), obtendo um sistema equivalente mais simples: