Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & -10 \\\\ -2 & 3 & 1 & 5 \\\\ 2 & -4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 0 & 3 & 10 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A\vec{x}=\vec{b} cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -5 & -10 \\\\ -2 & 3 & 1 & 5 \\\\ 2 & -4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 0 & 3 & 10 \end{array}\right].
Pergunta específica: encontrar o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x} em mínimos quadrados.\
Informações dadas (extraídas da matriz aumentada acima):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -5\\[4pt] -2 & 3 & 1\\[4pt] 2 & -4 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-10\\[2pt]5\\[2pt]3\\[2pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “solução nos mínimos quadrados”? Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é (tal como aqui) sobredeterminado (mais equações que incógnitas), talvez não exista \vec{x} que satisfaça exatamente todas as equações. A ideia dos mínimos quadrados é escolher \vec{x} que minimize o erro quadrático \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.\
Um resultado padrão (e que vamos usar) é que a solução de mínimos quadrados satisfaz as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Explico rapidamente: minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2 em \vec{x} leva, por derivação ou condição de ortogonalidade, exatamente a A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=\vec{0}, que é equivalente a A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.

Passo 3

Vamos formar explicitamente A^{T}A e A^{T}\vec{b}. Reescrevo A por colunas (cada coluna é um vetor de \mathbb{R}^4):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -5\\[2pt] -2 & 3 & 1\\[2pt] 2 & -4 & 2\\[2pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
A entrada (i,j) de A^{T}A é (A^{T}A)_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{k i}a_{k j}. A entrada i de A^{T}\vec{b} é \sum_{k=1}^{4} a_{k i} b_k. Vou calcular termo a termo.]

Passo 4

Calculo de A^{T}A, elemento a elemento:
  • (A^{T}A)_{11}=\sum_{k=1}^{4} a_{k1}^2 = (-1)^2+(-2)^2+2^2+2^2 = 1+4+4+4=13.
  • (A^{T}A)_{12}=\sum_{k=1}^{4} a_{k1}a_{k2} = (-1)(-1)+(-2)(3)+2(-4)+2(0)=1-6-8+0=-13.
  • (A^{T}A)_{13}=\sum_{k=1}^{4} a_{k1}a_{k3} = (-1)(-5)+(-2)(1)+2(2)+2(3)=5-2+4+6=13.
  • (A^{T}A)_{22}=\sum_{k=1}^{4} a_{k2}^2 = (-1)^2+3^2+(-4)^2+0^2=1+9+16+0=26.
  • (A^{T}A)_{23}=\sum_{k=1}^{4} a_{k2}a_{k3}=(-1)(-5)+3(1)+(-4)(2)+0(3)=5+3-8+0=0.
  • (A^{T}A)_{33}=\sum_{k=1}^{4} a_{k3}^2 = (-5)^2+1^2+2^2+3^2=25+1+4+9=39.
Como A^{T}A é simétrica, preenchendo os simétricos obtemos
A^{T}A=\begin{pmatrix} 13 & -13 & 13\\[2pt] -13 & 26 & 0\\[2pt] 13 & 0 & 39 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo de A^{T}\vec{b}, componente a componente:
  • Primeira componente:
    \sum_{k=1}^{4} a_{k1}b_k = (-1)(-10)+(-2)(5)+2(3)+2(10)=10-10+6+20=26.
  • Segunda componente:
    \sum_{k=1}^{4} a_{k2}b_k = (-1)(-10)+3(5)+(-4)(3)+0(10)=10+15-12+0=13.
  • Terceira componente:
    \sum_{k=1}^{4} a_{k3}b_k = (-5)(-10)+1(5)+2(3)+3(10)=50+5+6+30=91.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}26\\[2pt]13\\[2pt]91\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrevo as equações normais
\begin{pmatrix} 13 & -13 & 13\\[2pt] -13 & 26 & 0\\[2pt] 13 & 0 & 39 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}26\\[2pt]13\\[2pt]91\end{pmatrix}.
Para simplificar, divido cada linha por 13 (todos os números da matriz e do vetor direito são múltiplos de 13), obtendo um sistema equivalente mais simples:
\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 2,\\[4pt] - x_1 + 2x_2 = 1,\\[4pt] x_1 + 3x_3 = 7. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema simplificado passo a passo.
Da segunda equação:
- x_1 + 2x_2 = 1 \implies x_1 = 2x_2 - 1.
Substituo na primeira equação:
(2x_2-1) - x_2 + x_3 = 2 \implies x_2 -1 + x_3 =2 \implies x_2 + x_3 =3.
Assim
x_3 = 3 - x_2.
Agora substituo x_1 e x_3 na terceira equação:
x_1 + 3x_3 = 7 \implies (2x_2-1) + 3(3-x_2)=7.
Faço as contas:
2x_2 -1 +9 -3x_2 =7 \implies -x_2 +8 =7 \implies -x_2 = -1 \implies x_2 =1.
Com x_2=1 tenho
x_3 = 3 - x_2 = 2,
e
x_1 = 2x_2 -1 = 2\cdot 1 -1 = 1.

Passo 8

Verificação rápida: substituindo (x_1,x_2,x_3)=(1,1,2) nas equações simplificadas:
  • 1-1+2=2 OK.
  • -1+2\cdot 1 =1 OK.
  • 1+3\cdot 2=7 OK.
    Portanto a solução de mínimos quadrados é \vec{x}=(1,1,2)^{T} e a primeira componente é x_{1}=1.

Resposta

(E) 1

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