e o vetor \vec{v}=(17,-12,-6,-30,-15).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Pede-se a segunda coordenada x_{2} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (isto é, o coeficiente da componente na direção de \vec{b}_2). A dica diz que não é necessário resolver um sistema linear.]
Passo 2
Conceito/ideia-chave (explicação didática): se \beta é uma base ortogonal, então podemos escrever
Fazendo produto interno (dot product) com \vec{b}_2 e usando ortogonalidade (isto é, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_2=0 para i\neq2), todos os termos com x_1,x_3,x_4,x_5 desaparecem, sobrando
Explicando símbolos: \vec{v}\cdot\vec{b}_2 é a soma dos produtos das componentes correspondentes; \vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 é a soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_2.
Passo 3
Calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_2. Multiplicamos componente a componente e somamos: