Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 6 \\\\ -1 \\\\ 7 \\\\ 7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -6 \\\\ 4 \\\\ 8 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(17,-12,-6,-30,-15).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5
\beta=\left\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3,\vec{b}_4,\vec{b}_5\right\}
onde, em particular,
\vec{b}_2=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]6\\[4pt]-1\\[4pt]7\\[4pt]7\end{bmatrix},
e o vetor
\vec{v}=\begin{bmatrix}17\\[4pt]-12\\[4pt]-6\\[4pt]-30\\[4pt]-15\end{bmatrix}.
Pede-se a segunda coordenada x_{2} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (isto é, o coeficiente da componente na direção de \vec{b}_2). A dica diz que não é necessário resolver um sistema linear.]

Passo 2

Conceito/ideia-chave (explicação didática): se \beta é uma base ortogonal, então podemos escrever
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+x_3\vec{b}_3+x_4\vec{b}_4+x_5\vec{b}_5.
Fazendo produto interno (dot product) com \vec{b}_2 e usando ortogonalidade (isto é, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_2=0 para i\neq2), todos os termos com x_1,x_3,x_4,x_5 desaparecem, sobrando
\vec{v}\cdot\vec{b}_2 = x_2\;(\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2).
Portanto a fórmula prática para a coordenada é
x_2=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_2}{\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2}.
Explicando símbolos: \vec{v}\cdot\vec{b}_2 é a soma dos produtos das componentes correspondentes; \vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 é a soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_2.

Passo 3

Calcular o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_2. Multiplicamos componente a componente e somamos:
\vec{v}\cdot\vec{b}_2 = 17\cdot(-3) + (-12)\cdot 6 + (-6)\cdot(-1) + (-30)\cdot 7 + (-15)\cdot 7.
Agora faço as multiplicações e somas passo a passo:
17\cdot(-3) = -51,
(-12)\cdot 6 = -72,
(-6)\cdot(-1) = 6,
(-30)\cdot 7 = -210,
(-15)\cdot 7 = -105.
Somando tudo:
-51 + (-72) + 6 + (-210) + (-105) = -432.
Logo \vec{v}\cdot\vec{b}_2 = -432.

Passo 4

Calcular o denominador \vec{b}_2\cdot\vec{b}_2. É a soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_2:
\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 = (-3)^2 + 6^2 + (-1)^2 + 7^2 + 7^2.
Calculando:
(-3)^2 = 9,\quad 6^2 = 36,\quad (-1)^2 = 1,\quad 7^2 = 49.
Somando:
9 + 36 + 1 + 49 + 49 = 144.
Portanto \vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 = 144.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula
x_2=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_2}{\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2}=\frac{-432}{144}=-3.
Verificação rápida de sentido: \,-3 é inteiro e corresponde exatamente à divisão, tudo coerente.

Resposta

(B) -3

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