Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 y-6 z\right\} não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} é subespaço vetorial.
III - O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais em \mathbb{R}^3 e pede para identificar quais são verdadeiras:
I – o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=6y-6z\} não seria subespaço.
II – a solução do sistema A\vec x=\vec b com \vec b\neq\vec0 seria subespaço.
III – o complemento ortogonal de \mathrm{span}\{\vec u,\vec v\}, quando \{\vec u,\vec v\} é LD, não seria subespaço.

Passo 2

Verificamos a afirmação I. O conjunto
\{(x,y,z)\mid x=6y-6z\}
pode ser parametrizado por
(x,y,z)=(6y-6z,y,z). Esse conjunto contém o vetor zero (tomando y=0,z=0), é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço. Assim, I é falsa.

Passo 3

Analisamos a afirmação II. O conjunto solução de A\vec x=\vec b com \vec b\neq\vec0 é um affine space: não contém o vetor zero (a menos que \vec b=\vec0) e falha em fechar-se por multiplicação escalar. Logo não é subespaço vetorial. Assim, II é falsa.

Passo 4

Afirmativa III: para qualquer conjunto de vetores, o seu complemento ortogonal é sempre um subespaço vetorial (pois é o núcleo de um operador linear). Mesmo que \{\vec u,\vec v\} seja LD, \bigl(\mathrm{span}\{\vec u,\vec v\}\bigr)^\perp continua sendo subespaço. Portanto, III é falsa.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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