Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I -
não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema
, onde
é subespaço vetorial.
III - O complemento ortogonal de span
LD, não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I -
II - O conjunto solução do sistema
III - O complemento ortogonal de span
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais em
e pede para identificar quais são verdadeiras:
I – o conjunto não seria subespaço.
II – a solução do sistema com
seria subespaço.
III – o complemento ortogonal de , quando
é LD, não seria subespaço.
I – o conjunto
II – a solução do sistema
III – o complemento ortogonal de
Passo 2
Verificamos a afirmação I. O conjunto
pode ser parametrizado por
. Esse conjunto contém o vetor zero (tomando
), é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço. Assim, I é falsa.
pode ser parametrizado por
Passo 3
Analisamos a afirmação II. O conjunto solução de
com
é um affine space: não contém o vetor zero (a menos que
) e falha em fechar-se por multiplicação escalar. Logo não é subespaço vetorial. Assim, II é falsa.
Passo 4
Afirmativa III: para qualquer conjunto de vetores, o seu complemento ortogonal é sempre um subespaço vetorial (pois é o núcleo de um operador linear). Mesmo que
seja LD,
continua sendo subespaço. Portanto, III é falsa.
Resposta
(A) Todas são falsas.