Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=4 x^{2}-4 x+4 na reta gerada por
q(x)=2 x-4.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-4 x+4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-4 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -\frac{32 x^{2}}{7}+\frac{32 x}{7}-\frac{32}{7}
(B) -\frac{36 x^{2}}{7}+\frac{36 x}{7}-\frac{36}{7}
(C) \frac{34}{7}-\frac{17 x}{7}
(D) \frac{32}{7}-\frac{16 x}{7}
(E) \frac{36}{7}-\frac{18 x}{7}
(F) -\frac{34 x^{2}}{7}+\frac{34 x}{7}-\frac{34}{7}
(G) -\frac{30 x^{2}}{7}+\frac{30 x}{7}-\frac{30}{7}
(H) \frac{30}{7}-\frac{15 x}{7}

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de
p(x)=4x^2-4x+4
na reta gerada por
q(x)=2x-4
no espaço \mathcal P_2 com produto interno
\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,g(x)\,dx.
Lembra que, em qualquer espaço com produto interno,
\mathrm{proj}_q p \;=\;\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\;q.

Passo 2

Vamos calcular \langle p,q\rangle:
\langle p,q\rangle =\int_{0}^{1}(4x^2-4x+4)(2x-4)\,dx.
Expandindo o integrando:
(4x^2-4x+4)(2x-4)=8x^3-24x^2+24x-16.
Logo,
\langle p,q\rangle =\int_{0}^{1}(8x^3-24x^2+24x-16)\,dx =\bigl[2x^4-8x^3+12x^2-16x\bigr]_0^1 =2-8+12-16=-10.

Passo 3

Agora \langle q,q\rangle:
\langle q,q\rangle =\int_{0}^{1}(2x-4)^2\,dx =\int_{0}^{1}(4x^2-16x+16)\,dx =\bigl[\tfrac{4}{3}x^3-8x^2+16x\bigr]_0^1 =\tfrac{4}{3}-8+16 =\tfrac{28}{3}.

Passo 4

O coeficiente da projeção é
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} =\frac{-10}{28/3} =-\frac{15}{14}.
Então
\mathrm{proj}_q p(x) =\alpha\,q(x) =-\frac{15}{14}(2x-4) =-\frac{30x}{14}+\frac{60}{14} =-\frac{15x}{7}+\frac{30}{7}.

Passo 5

O polinômio encontrado
\displaystyle -\tfrac{15x}{7}+\tfrac{30}{7}
corresponde à alternativa (H).

Resposta

(H) \displaystyle \frac{30}{7}-\frac{15x}{7}

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