Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 6 \\\\ -1 \\\\ 7 \\\\ 7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -6 \\\\ 4 \\\\ 8 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(2,13,15,19,14).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O enunciado fornece uma base ortogonal \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} de \mathbb{R}^5 e o vetor \vec v=(2,13,15,19,14). Precisamos encontrar a terceira coordenada x_{3} de \vec v em relação a \beta. Como a base é ortogonal, vamos usar produto interno e norma ao quadrado do vetor b_{3}.

Passo 2

Em uma base ortogonal, a i-ésima coordenada de \vec v é dada por
x_{i} \;=\; \frac{\langle \vec v,\,b_{i}\rangle}{\langle b_{i},\,b_{i}\rangle}.

Passo 3

Para b_{3}=(-3,-2,-3,1,-1), o produto interno é
\langle \vec v,\,b_{3}\rangle =2\cdot(-3)+13\cdot(-2)+15\cdot(-3)+19\cdot1+14\cdot(-1) =-6-26-45+19-14=-72.

Passo 4

A norma ao quadrado de b_{3} é
\langle b_{3},\,b_{3}\rangle =(-3)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}+1^{2}+(-1)^{2} =9+4+9+1+1=24.

Passo 5

Logo,
x_{3} =\frac{\langle \vec v,\,b_{3}\rangle}{\langle b_{3},\,b_{3}\rangle} =\frac{-72}{24}=-3.

Resposta

-3

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