Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -5 68.1
-2 2 14.5
-1 -3 19.8
0 5 -17.0
1 -2 18.0
2 5 3.0
3 -1 54.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 219.1
(B) 220.1
(C) 221.1
(D) 222.1
(E) 223.1
(F) 224.1
(G) 225.1
(H) 226.1

Passo 1

O enunciado pede que a gente ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições da tabela, e depois que se calcule o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(7,7).
Dados (peguei todos estes valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{rrr} x & y & Z\\hline -3 & -5 & 68,1\\\\ -2 & 2 & 14,5\\\\ -1 & -3 & 19,8\\\\ 0 & 5 & -17,0\\\\ 1 & -2 & 18,0\\\\ 2 & 5 & 3,0\\\\ 3 & -1 & 54,2 \end{array}
O que o enunciado pergunta:
\text{(i) ajustar }a,b,c\text{ por mínimos quadrados; \quad (ii) calcular }Z(7,7)\text{ e escolher a aproximação correta.}íçã

Passo 2

Transformação do problema em um problema linear em parâmetros. Note que o modelo é linear nos parâmetros a,b,c se tomarmos as variáveis preditoras
u = x^{2},\quad v=y,\quad 1.
Escrevemos para cada medição i:
Z_i = a\,u_i + b\,v_i + c\cdot 1.
Em forma matricial: \mathbf{Z} = \mathbf{A}\mathbf{p}, onde
\mathbf{p}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix},\qquad \mathbf{A}=\begin{pmatrix}u_1 & v_1 & 1\\[4pt] \vdots & \vdots & \vdots\\[4pt] u_7 & v_7 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{Z}=\begin{pmatrix}Z_1\\\ \vdots\\\ Z_7\end{pmatrix}.
O ajuste por mínimos quadrados leva às equações normais
\mathbf{A}^{T}\mathbf{A}\,\mathbf{p}=\mathbf{A}^{T}\mathbf{Z}.
Vou calcular explicitamente as somas necessárias a partir da tabela.]

Passo 3

Calcular u_i=x_i^{2} e as somas (todas obtidas a partir da tabela):
\begin{array}{c|ccccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline x_i & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\\ y_i & -5 & 2 & -3 & 5 & -2 & 5 & -1\\\ u_i=x_i^{2} & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9\\\ Z_i & 68,1 & 14,5 & 19,8 & -17,0 & 18,0 & 3,0 & 54,2 \end{array}
Agora as somas necessárias:
\begin{aligned} \sum u_i &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum v_i &= \sum y_i = -5+2-3+5-2+5-1 = 1,\\\ \sum 1 &= 7,\\\ \sum u_i^{2} &= 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196,\\\ \sum v_i^{2} &= (-5)^{2}+2^{2}+(-3)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}+5^{2}+(-1)^{2} = 93,\\\ \sum u_i v_i &= 9(-5)+4(2)+1(-3)+0(5)+1(-2)+4(5)+9(-1) = -31,\\[4pt] \sum Z_i &= 68,1+14,5+19,8-17,0+18,0+3,0+54,2 = 160,6,\\\ \sum u_i Z_i &= 9(68,1)+4(14,5)+1(19,8)+0(-17,0)+1(18,0)+4(3,0)+9(54,2)=1208,5,\\\ \sum v_i Z_i &= -5(68,1)+2(14,5)-3(19,8)+5(-17,0)-2(18,0)+5(3,0)-1(54,2)=-531,1. \end{aligned}]

Passo 4

Escrevendo as equações normais com as somas (essas somas vêm da tabela, como declarei no passo anterior):
\begin{pmatrix} \sum u_i^{2} & \sum u_i v_i & \sum u_i \\\ \sum u_i v_i & \sum v_i^{2} & \sum v_i \\\ \sum u_i & \sum v_i & \sum 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum u_i Z_i\\\ \sum v_i Z_i\\\ \sum Z_i\end{pmatrix}.
Substituindo números:
\begin{pmatrix} 196 & -31 & 28\\[4pt] -31 & 93 & 1\\[4pt] 28 & 1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1208,5\\\\ -531,1\\\\ 160,6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema linear. Vou fazer eliminação Gaussiana (mostro os passos principais de eliminação e cálculo numérico, mantendo precisão suficiente para a resposta final).
Começo com a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 196 & -31 & 28 & 1208,5\\\\ -31 & 93 & 1 & -531,1\\\\ 28 & 1 & 7 & 160,6 \end{array}\right].
Elimino o coeficiente da primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Fator para linha 2: 31/196. Atualizando linha 2:
\text{R2}\leftarrow\text{R2} + \frac{31}{196}\text{R1}
resulta aproximadamente em
\text{R2}: \quad 0\;,\; 88,1071428571\;,\; 5,4285714286\;,\; -339,9596938776.
Fator para linha 3: 28/196=1/7. Atualizando linha 3:
\text{R3}\leftarrow\text{R3} - \frac{1}{7}\text{R1}
resulta aproximadamente em
\text{R3}: \quad 0\;,\; 5,4285714286\;,\; 3\;,\; -12,0428571429.

Passo 6

Agora temos o sistema 2×2 nas linhas 2 e 3 para b e c:
\begin{pmatrix} 88,1071428571 & 5,4285714286\\[4pt] 5,4285714286 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-339,9596938776\\\\ -12,0428571429\end{pmatrix}.
Resolvo este 2×2 por regra de Cramer (ou inversão direta). O determinante é
\Delta = 88,1071428571\cdot 3 - 5,4285714286^{2}\approx 234,8520408163.
O determinante para b (substituindo a primeira coluna pelo vetor do lado direito) dá, com cálculo exato em frações ou com precisão numérica suficiente,
\Delta_b \approx -954,5035714286.
Logo
b = \frac{\Delta_b}{\Delta}\approx \frac{-954,5035714286}{234,8520408163}\approx -4,064806075.]

Passo 7

Com b conhecido, uso a linha 3 (mais simples) para achar c:
\left(\frac{38}{7}\right)b + 3c = -\frac{843}{70}\qquad\text{(valores exatos usados na eliminação)},çã
onde \frac{38}{7}\approx 5,4285714286 e -\frac{843}{70}\approx -12,0428571429. Substituindo b\approx -4,064806075,
3c = -12,0428571429 - \left(\frac{38}{7}\right)b \approx -12,0428571429 - (5,4285714286)(-4,064806075).
Calculando,
3c \approx 10,0232728571 \quad\Rightarrow\quad c \approx 3,3410909524.

Passo 8

Agora volto à primeira equação para achar a. Da equação
196a -31b +28c = 1208,5,
substituo b e c:
196a = 1208,5 +31b -28c.
Com b\approx -4,064806075 e c\approx 3,3410909524,
196a \approx 1208,5 +31(-4,064806075) -28(3,3410909524).
Calculando os termos:
31(-4,064806075)\approx -126,008988325,\qquad 28(3,3410909524)\approx 93,5505466667.
Portanto
196a \approx 1208,5 -126,008988325 -93,5505466667 \approx 988,9404650083,
logo
a \approx \frac{988,9404650083}{196}\approx 5,0456350405.

Passo 9

Resumo dos parâmetros ajustados (aproximações numéricas, com precisão suficiente para previsão):
a \approx 5,0456350405,\qquad b \approx -4,0648060750,\qquad c \approx 3,3410909524.

Passo 10

Calcular a previsão no ponto (x,y)=(7,7). Primeiro x^{2}=7^{2}=49. Então
Z(7,7)=a\cdot 49 + b\cdot 7 + c.
Substituindo os parâmetros:
Z(7,7)\approx 5,0456350405\cdot 49 + (-4,0648060750)\cdot 7 + 3,3410909524.
Calculando cada termo:
5,0456350405\cdot 49 \approx 247,236115, \qquad (-4,0648060750)\cdot 7 \approx -28,453642525,
\text{logo }Z(7,7)\approx 247,236115 -28,453642525 +3,3410909524 \approx 222,1235634274.

Passo 11

Comparando com as opções fornecidas (cada opção difere por 1,0 unidade e são números com uma casa decimal), o valor calculado Z(7,7)\approx 222,1236 tem a melhor aproximação
222,1,
que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) \,222,1

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