Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-5
68.1
-2
2
14.5
-1
-3
19.8
0
5
-17.0
1
-2
18.0
2
5
3.0
3
-1
54.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 219.1
(B) 220.1
(C) 221.1
(D) 222.1
(E) 223.1
(F) 224.1
(G) 225.1
(H) 226.1
Passo 1
O enunciado pede que a gente ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições da tabela, e depois que se calcule o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(7,7).
Dados (peguei todos estes valores diretamente da tabela do enunciado):
Resolver o sistema linear. Vou fazer eliminação Gaussiana (mostro os passos principais de eliminação e cálculo numérico, mantendo precisão suficiente para a resposta final).
O determinante para b (substituindo a primeira coluna pelo vetor do lado direito) dá, com cálculo exato em frações ou com precisão numérica suficiente,
\Delta_b \approx -954,5035714286.
Logo
b = \frac{\Delta_b}{\Delta}\approx \frac{-954,5035714286}{234,8520408163}\approx -4,064806075.]
Passo 7
Com b conhecido, uso a linha 3 (mais simples) para achar c:
\left(\frac{38}{7}\right)b + 3c = -\frac{843}{70}\qquad\text{(valores exatos usados na eliminação)},çã
onde \frac{38}{7}\approx 5,4285714286 e -\frac{843}{70}\approx -12,0428571429. Substituindo b\approx -4,064806075,
Comparando com as opções fornecidas (cada opção difere por 1,0 unidade e são números com uma casa decimal), o valor calculado Z(7,7)\approx 222,1236 tem a melhor aproximação