Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 4 & 8 \\\\ -1 & 0 & -4 & -6 \\\\ -1 & -2 & -3 & -5 \\\\ -1 & -2 & -1 & 7 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear A\vec{x}=\vec{b} na forma de matriz aumentada. Ele pede a solução no sentido dos mínimos quadrados e, em particular, o valor da terceira componente x_{3} da solução \vec{x}. As informações dadas (retiradas da matriz aumentada) são as linhas:
\begin{array}{rcl} \text{linha 1:} & & -1\;x_{1} \;+\;0\;x_{2}\;+\;4\;x_{3} = 8,\\[4pt] \text{linha 2:} & & -1\;x_{1} \;+\;0\;x_{2}\;-\;4\;x_{3} = -6,\\[4pt] \text{linha 3:} & & -1\;x_{1} \;-\;2\;x_{2}\;-\;3\;x_{3} = -5,\\[4pt] \text{linha 4:} & & -1\;x_{1} \;-\;2\;x_{2}\;-\;1\;x_{3} = 7. \end{array}
Resumo útil: a matriz dos coeficientes A e o vetor \vec{b} (retirados da aumentada) são
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\[4pt] -1 & 0 & -4\\[4pt] -1 & -2 & -3\\[4pt] -1 & -2 & -1 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-6\\[4pt]-5\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicando o método de forma direta e intuitiva (a aula rápida): quando temos mais equações que incógnitas (sistema sobredeterminado), pode não existir solução exata. A abordagem dos mínimos quadrados busca o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático total
\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=\sum_{i}(A\vec{x}-\vec{b})_{i}^{2}.
Um resultado padrão (fácil de justificar pelo cálculo) diz que o minimizador resolve as chamadas equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. A entrada (i,j) de A^{T}A é o produto escalar (dot product) da coluna i de A com a coluna j de A; e a entrada i de A^{T}\vec{b} é o produto escalar da coluna i de A com \vec{b}. Vou calcular esses produtos passo a passo.

Passo 3

Primeiro identifiquemos as colunas de A (vou usar-as para calcular produtos escalares):
\text{coluna 1}=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{coluna 2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\quad \text{coluna 3}=\begin{pmatrix}4\\\ -4\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos A^{T}A pelo produto escalar entre colunas:
  • (A^{T}A)_{11}=\text{col1}\cdot\text{col1}=(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}=1+1+1+1=4.
  • (A^{T}A)_{12}=\text{col1}\cdot\text{col2}=(-1)\cdot0+(-1)\cdot0+(-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-2)=0+0+2+2=4.
  • (A^{T}A)_{13}=\text{col1}\cdot\text{col3}=(-1)\cdot4+(-1)\cdot(-4)+(-1)\cdot(-3)+(-1)\cdot(-1)=-4+4+3+1=4.
  • (A^{T}A)_{22}=\text{col2}\cdot\text{col2}=0^{2}+0^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}=0+0+4+4=8.
  • (A^{T}A)_{23}=\text{col2}\cdot\text{col3}=0\cdot4+0\cdot(-4)+(-2)\cdot(-3)+(-2)\cdot(-1)=0+0+6+2=8.
  • (A^{T}A)_{33}=\text{col3}\cdot\text{col3}=4^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}=16+16+9+1=42.
Como A^{T}A é simétrica, montamos:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4\\[4pt] 4 & 8 & 8\\[4pt] 4 & 8 & 42 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculemos A^{T}\vec{b} componente a componente, usando produtos escalares coluna com \vec{b}:
  • Primeira componente:
\text{col1}\cdot\vec{b}=(-1)\cdot8+(-1)\cdot(-6)+(-1)\cdot(-5)+(-1)\cdot7=-8+6+5-7=-4.
  • Segunda componente:
\text{col2}\cdot\vec{b}=0\cdot8+0\cdot(-6)+(-2)\cdot(-5)+(-2)\cdot7=0+0+10-14=-4.
  • Terceira componente:
\text{col3}\cdot\vec{b}=4\cdot8+(-4)\cdot(-6)+(-3)\cdot(-5)+(-1)\cdot7=32+24+15-7=64.
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-4\\[4pt]64\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos as equações normais
\begin{pmatrix} 4 & 4 & 4\\[4pt] 4 & 8 & 8\\[4pt] 4 & 8 & 42 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]-4\\[4pt]64\end{pmatrix}.
Para simplificar, é conveniente dividir as duas primeiras linhas por 4 (isto é apenas simplificação aritmética), obtendo um sistema equivalente:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=-1,\\[4pt] 4x_{1}+8x_{2}+42x_{3}=64. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo as duas primeiras equações por eliminação:
subtraindo a primeira da segunda:
(x_{1}+2x_{2}+2x_{3})-(x_{1}+x_{2}+x_{3})= -1 - (-1)
que dá
x_{2}+x_{3}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=-x_{3}.
Usando x_{2}=-x_{3} na primeira equação:
x_{1}+(-x_{3})+x_{3}= -1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-1.
Agora substituir x_{1}=-1 e x_{2}=-x_{3} na terceira equação:
4(-1)+8(-x_{3})+42x_{3}=64.
Calcule:
-4 -8x_{3}+42x_{3}=64 \quad\Rightarrow\quad (-4)+34x_{3}=64.
Isolando x_{3}:
34x_{3}=64+4=68 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\dfrac{68}{34}=2.
Com isso x_{2}=-x_{3}=-2 e x_{1}=-1, mas o que nos pediram foi x_{3}.

Resposta

2

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