Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado fornece um sistema linear A\vec{x}=\vec{b} na forma de matriz aumentada. Ele pede a solução no sentido dos mínimos quadrados e, em particular, o valor da terceira componente x_{3} da solução \vec{x}. As informações dadas (retiradas da matriz aumentada) são as linhas:
Explicando o método de forma direta e intuitiva (a aula rápida): quando temos mais equações que incógnitas (sistema sobredeterminado), pode não existir solução exata. A abordagem dos mínimos quadrados busca o vetor \vec{x} que minimiza o erro quadrático total
Um resultado padrão (fácil de justificar pelo cálculo) diz que o minimizador resolve as chamadas equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. A entrada (i,j) de A^{T}A é o produto escalar (dot product) da coluna i de A com a coluna j de A; e a entrada i de A^{T}\vec{b} é o produto escalar da coluna i de A com \vec{b}. Vou calcular esses produtos passo a passo.
Passo 3
Primeiro identifiquemos as colunas de A (vou usar-as para calcular produtos escalares):