Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=2 z-2 x\right\} é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} \mathrm{LD}, não é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras/ falsas, escolhendo a alternativa correta entre (A) a (H). As afirmativas são:
I. \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=2z-2x\} é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente (escrito no enunciado como “com{\vec{u},\vec{v}} LD”), não é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\vec{0}, é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
  • Afirmativa I dá explicitamente um conjunto em \mathbb{R}^3 definido pela equação linear y=2z-2x.
  • Afirmativa II fala do complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} e acrescenta que \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente.
  • Afirmativa III trata do conjunto de soluções de A\vec{x}=\vec{b} para \vec{b}\neq\vec{0}.
O que o enunciado pede: decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa (A)–(H) correspondente.

Passo 2

Relembrando (com explicação didática) o que significa ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n.
Definição prática: um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se:
  1. S não é vazio (em particular, \vec{0}\in S);
  2. S é fechado sob adição: se \vec{u},\vec{v}\in S então \vec{u}+\vec{v}\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalares: se \vec{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\vec{u}\in S.
Por que essas condições? Porque um subespaço precisa conter o vetor zero e preservar combinações lineares simples — na prática, é o mesmo que dizer que S é o núcleo (kernel) de alguma aplicação linear ou que é gerado por vetores e contém todas as combinações lineares deles, sem deslocamentos (não pode ser uma tradução).
Vou usar exatamente essas condições para testar as afirmativas.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=2z-2x\}.
Primeira observação algebraica: a equação pode ser rearranjada como
2x + y - 2z = 0.
Isto mostra que o conjunto é o conjunto de vetores (x,y,z) que anulam a forma linear \ell(x,y,z)=2x+y-2z. Em outras palavras,
\{(x,y,z)\mid y=2z-2x\} = \ker(\ell),
onde \ell:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é a aplicação linear \ell(x,y,z)=2x+y-2z.
Propriedade importante (aula curta): o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Isso porque \ell(\vec{0})=0, e se \ell(\vec{u})=0 e \ell(\vec{v})=0 então \ell(\vec{u}+\vec{v})=\ell(\vec{u})+\ell(\vec{v})=0 e \ell(\alpha\vec{u})=\alpha\ell(\vec{u})=0.
Aplicando aqui: \ker(\ell) contém \vec{0} e é fechado sob soma e multiplicação por escalares; logo é subespaço. Para tornar ainda mais concreto, posso fazer o teste direto das três condições:
  • Zero: (0,0,0) satisfaz 0 = 2\cdot 0 - 2\cdot 0, logo \vec{0}\in S.
  • Soma: se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) satisfazem y_i=2z_i-2x_i, então somando coordenada a coordenada obtém-se y_1+y_2 = 2(z_1+z_2)-2(x_1+x_2), logo a soma pertence ao conjunto.
  • Escalar: se (x,y,z) satisfaz a relação e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha y = 2(\alpha z)-2(\alpha x), logo \alpha(x,y,z) pertence.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Explicação (curta e didática) sobre complemento ortogonal: se W é um subconjunto de \mathbb{R}^n, define-se o complemento ortogonal de W por
W^\perp = \{\vec{v}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{v}\cdot\vec{w}=0\\ \text{para todo }\vec{w}\in W\}.
Propriedade chave: W^\perp é sempre um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Justificativa: \vec{0} satisfaz \vec{0}\cdot\vec{w}=0 para todo \vec{w}, então \vec{0}\in W^\perp. Se \vec{v}_1,\vec{v}_2\in W^\perp então para todo \vec{w}\in W tem-se (\vec{v}_1+\vec{v}_2)\cdot\vec{w}=\vec{v}_1\cdot\vec{w}+\vec{v}_2\cdot\vec{w}=0+0=0, logo \vec{v}_1+\vec{v}_2\in W^\perp. Similarmente para escalares: (\alpha\vec{v}_1)\cdot\vec{w}=\alpha(\vec{v}_1\cdot\vec{w})=0. Assim W^\perp é fechado e contém \vec{0}.

Passo 5

Analisando a afirmativa II: “O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, não é subespaço vetorial.”
Pelo ponto anterior, para qualquer subconjunto W (aqui W=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}), o conjunto W^\perp é sempre subespaço vetorial. A hipótese adicional de que \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente só diz que \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} tem dimensão menor ou igual a 1 (pode ser a mesma reta gerada por um vetor, ou apenas \{\vec{0}\} se ambos forem nulos), mas isso não altera o fato de que o complemento ortogonal é subespaço. Portanto a afirmativa II é falsa.
Exemplo simples para intuir: se \vec{u}=\vec{0} e \vec{v}=\vec{0}, então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}=\{\vec{0}\} e seu complemento ortogonal é todo \mathbb{R}^n, que é subespaço. Se \vec{v}=2\vec{u} então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}=\operatorname{span}\{\vec{u}\} e seu ortogonal é o conjunto de vetores ortogonais a \vec{u}, que é uma hipersuperfície linear (um subespaço).

Passo 6

Análise (teórica) sobre o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b}.
  • Quando \vec{b}=\vec{0}, o conjunto solução é \ker(A), que é subespaço vetorial (mesma ideia do núcleo de uma aplicação linear).
  • Quando \vec{b}\neq\vec{0}, o conjunto solução, se existe, é uma translação afim do núcleo: se \vec{x}_0 é uma solução (isto é, A\vec{x}_0=\vec{b}), então o conjunto de todas as soluções é
\{\vec{x}_0 + \vec{z} \mid \vec{z}\in\ker(A)\}.
Isto é um conjunto afim (uma reta/ plano etc deslocado), não necessariamente contendo \vec{0}. Para ser subespaço, o conjunto teria que conter \vec{0} e ser fechado sob multiplicação por escalares; mas normalmente \vec{0} não satisfaz A\vec{0}=\vec{b} quando \vec{b}\neq\vec{0}.
Propriedade prática: se \vec{b}\neq\vec{0} e existe solução \vec{x}_0, então \vec{0}\notin\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\vec{b}\} porque A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}. Portanto o conjunto não contém o vetor zero e consequentemente não é subespaço (não satisfaz a condição 1 do Passo 2). Mesmo se \vec{0} estivesse na solução (o que só ocorre quando \vec{b}=\vec{0}), ainda seria necessário verificar fechamento, mas no caso \vec{b}\neq\vec{0} já falhamos no primeiro teste.

Passo 7

Aplicando ao caso concreto da afirmativa III: ela afirma que o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\vec{0} é subespaço vetorial. Pela razão acima, isto é falso em geral, porque normalmente \vec{0}\notin\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\vec{b}\}. Um exemplo numérico rápido (para fixar a intuição): considere A=[1] (matriz 1\times1) e \vec{b}=[1]. O conjunto de soluções é \{[1]\}, que não contém [0] e não é fechado por multiplicação por escalares (por exemplo 2\cdot[1]=[2] não é solução). Logo não é subespaço. Portanto a afirmativa III é falsa.

Passo 8

Resumo das conclusões sobre as três afirmativas:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa.
  • III: falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira. A alternativa correspondente é (B).

Resposta

(B)

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