Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I.
é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de
, não é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema
, onde
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I.
II. O complemento ortogonal de
III. O conjunto solução do sistema
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras/ falsas, escolhendo a alternativa correta entre (A) a (H). As afirmativas são:
I.
é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de
, com
linearmente dependente (escrito no enunciado como “com{\vec{u},\vec{v}} LD”), não é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema
, onde
, é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
- Afirmativa I dá explicitamente um conjunto em
definido pela equação linear . - Afirmativa II fala do complemento ortogonal de
e acrescenta que é linearmente dependente. - Afirmativa III trata do conjunto de soluções de
para .
O que o enunciado pede: decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a alternativa (A)–(H) correspondente.
Passo 2
Relembrando (com explicação didática) o que significa ser um subespaço vetorial de
.
Definição prática: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
não é vazio (em particular, ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Por que essas condições? Porque um subespaço precisa conter o vetor zero e preservar combinações lineares simples — na prática, é o mesmo que dizer que
é o núcleo (kernel) de alguma aplicação linear ou que é gerado por vetores e contém todas as combinações lineares deles, sem deslocamentos (não pode ser uma tradução).
Vou usar exatamente essas condições para testar as afirmativas.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
.
Primeira observação algebraica: a equação pode ser rearranjada como
Isto mostra que o conjunto é o conjunto de vetores
que anulam a forma linear
. Em outras palavras,
onde
é a aplicação linear
.
Propriedade importante (aula curta): o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Isso porque
, e se
e
então
e
.
Aplicando aqui:
contém
e é fechado sob soma e multiplicação por escalares; logo é subespaço. Para tornar ainda mais concreto, posso fazer o teste direto das três condições:
- Zero:
satisfaz , logo . - Soma: se
e satisfazem , então somando coordenada a coordenada obtém-se , logo a soma pertence ao conjunto. - Escalar: se
satisfaz a relação e , então , logo pertence.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Explicação (curta e didática) sobre complemento ortogonal: se
é um subconjunto de
, define-se o complemento ortogonal de
por
Propriedade chave:
é sempre um subespaço vetorial de
. Justificativa:
satisfaz
para todo
, então
. Se
então para todo
tem-se
, logo
. Similarmente para escalares:
. Assim
é fechado e contém
.
Passo 5
Analisando a afirmativa II: “O complemento ortogonal de
, com
linearmente dependente, não é subespaço vetorial.”
Pelo ponto anterior, para qualquer subconjunto
(aqui
), o conjunto
é sempre subespaço vetorial. A hipótese adicional de que
é linearmente dependente só diz que
tem dimensão menor ou igual a
(pode ser a mesma reta gerada por um vetor, ou apenas
se ambos forem nulos), mas isso não altera o fato de que o complemento ortogonal é subespaço. Portanto a afirmativa II é falsa.
Exemplo simples para intuir: se
e
, então
e seu complemento ortogonal é todo
, que é subespaço. Se
então
e seu ortogonal é o conjunto de vetores ortogonais a
, que é uma hipersuperfície linear (um subespaço).
Passo 6
Análise (teórica) sobre o conjunto solução de
.
- Quando
, o conjunto solução é , que é subespaço vetorial (mesma ideia do núcleo de uma aplicação linear). - Quando
, o conjunto solução, se existe, é uma translação afim do núcleo: se é uma solução (isto é, ), então o conjunto de todas as soluções é
Isto é um conjunto afim (uma reta/ plano etc deslocado), não necessariamente contendo
. Para ser subespaço, o conjunto teria que conter
e ser fechado sob multiplicação por escalares; mas normalmente
não satisfaz
quando
.
Propriedade prática: se
e existe solução
, então
porque
. Portanto o conjunto não contém o vetor zero e consequentemente não é subespaço (não satisfaz a condição 1 do Passo 2). Mesmo se
estivesse na solução (o que só ocorre quando
), ainda seria necessário verificar fechamento, mas no caso
já falhamos no primeiro teste.
Passo 7
Aplicando ao caso concreto da afirmativa III: ela afirma que o conjunto solução de
com
é subespaço vetorial. Pela razão acima, isto é falso em geral, porque normalmente
. Um exemplo numérico rápido (para fixar a intuição): considere
(matriz
) e
. O conjunto de soluções é
, que não contém
e não é fechado por multiplicação por escalares (por exemplo
não é solução). Logo não é subespaço. Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 8
Resumo das conclusões sobre as três afirmativas:
- I: verdadeira.
- II: falsa.
- III: falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira. A alternativa correspondente é (B).
Resposta
(B)