Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+10 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) 7 x-2
(B) 10 x-2
(C) 10 x-3
(D) 7 x-3
(E) 4 x-3
(F) 4 x-2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Espaço vetorial: \mathcal{P}_{2}, polinômios reais de grau \le 2.
  • Produto interno: \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Polinômio a projetar: \;p(x)=-6x^{2}+10x-3.
  • Subespaço de projeção: \mathcal{P}_{1}, polinômios de grau \le 1 (ou seja, polinômios da forma q(x)=ax+b).
  • O que se pede: determinar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (ou seja, o polinômio q(x)=ax+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção).
As opções fornecidas são:
(A) 7x-2
(B) 10x-2
(C) 10x-3
(D) 7x-3
(E) 4x-3
(F) 4x-2

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Definição prática de projeção ortogonal: a projeção ortogonal q de p sobre \mathcal{P}_{1} é o elemento de \mathcal{P}_{1} tal que o erro p-q é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_{1}.
  • Como \mathcal{P}_{1} = \text{span}\{1,x\}, basta exigir que p-q seja ortogonal a 1 e a x. Ou seja: \langle p-q,1\rangle=0,\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
  • Escrevemos q(x)=ax+b com incógnitas a e b e então transformamos as duas condições acima em duas equações lineares para a e b. Essa é a forma padrão (sistema normal) para encontrar projeção em subespaços finito-dimensionais.

Passo 3

Escrever explicitamente as equações de ortogonalidade.
  • Primeira condição: \langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-q(x)\big)\cdot 1\,dx=0.Substituindo p e q: \int_{0}^{1}\big(-6x^{2}+10x-3-(ax+b)\big)\,dx=0.Agrupando termos: \int_{0}^{1}\big(-6x^{2}+(10-a)x-(3+b)\big)\,dx=0.

Passo 4

Calcular a integral da primeira condição passo a passo.
  • Integral de cada termo: \int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{1}{3}=-2.
\int_{0}^{1}(10-a)x\,dx=(10-a)\int_{0}^{1}x\,dx=(10-a)\cdot\frac{1}{2}=\frac{10-a}{2}.
\int_{0}^{1}-(3+b)\,dx=-(3+b)\int_{0}^{1}1\,dx=-(3+b)\cdot 1=-(3+b).
  • Somando: -2+\frac{10-a}{2}-(3+b)=0.
  • Simplificar essa equação: -2+\frac{10}{2}-\frac{a}{2}-3-b=0 \quad\Rightarrow\quad -2+5-\frac{a}{2}-3-b=0.
( -2+5-3 ) -\frac{a}{2}-b=0 \quad\Rightarrow\quad 0-\frac{a}{2}-b=0.
Portanto a primeira equação reduz-se a
\frac{a}{2}+b=0.

Passo 5

Segunda condição de ortogonalidade e sua forma explícita.
  • Segunda condição: \langle p-q,x\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-q(x)\big)x\,dx=0.Substituindo p e q: \int_{0}^{1}\big(-6x^{2}+10x-3-(ax+b)\big)x\,dx=0.
\int_{0}^{1}\big(-6x^{3}+10x^{2}-3x-a x^{2}-b x\big)\,dx=0.
Agrupando:
\int_{0}^{1}\big(-6x^{3}+(10-a)x^{2}-(3+b)x\big)\,dx=0.

Passo 6

Calcular a integral da segunda condição detalhadamente.
  • Integral termo a termo: \int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{1}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}.
\int_{0}^{1}(10-a)x^{2}\,dx=(10-a)\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=(10-a)\cdot\frac{1}{3}=\frac{10-a}{3}.
\int_{0}^{1}-(3+b)x\,dx=-(3+b)\int_{0}^{1}x\,dx=-(3+b)\cdot\frac{1}{2}= -\frac{3+b}{2}.
  • Somando: -\frac{3}{2}+\frac{10-a}{3}-\frac{3+b}{2}=0.
  • Agrupando os termos de a e b e os constantes: \left(-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+\frac{10}{3}\right) +\left(-\frac{a}{3}-\frac{b}{2}\right)=0.Calcular a parte constante numérica: -\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=-3,\qquad -3+\frac{10}{3} = -\frac{9}{3}+\frac{10}{3}=\frac{1}{3}.Então obtemos \frac{1}{3} -\frac{a}{3}-\frac{b}{2}=0.Rearranjando: \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Resolver o sistema linear para [a) e b.
  • O sistema obtido é \begin{cases} \dfrac{a}{2}+b=0,\\[6pt] \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{1}{3}. \end{cases}
  • Da primeira equação isolamos (b]:
    b=-\dfrac{a}{2}.
  • Substituir na segunda: \frac{a}{3}+\frac{1}{2}\left(-\frac{a}{2}\right)=\frac{1}{3}.
\frac{a}{3}-\frac{a}{4}=\frac{1}{3}.
  • Calcular o lado esquerdo com denominador comum 12: \frac{4a-3a}{12}=\frac{a}{12}.Então \frac{a}{12}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad a=12\cdot\frac{1}{3}=4.
  • Usando b=-\dfrac{a}{2} obtemos b=-\frac{4}{2}=-2.]

Passo 8

Concluir a projeção e checar (verificação rápida).
  • Assim a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio q(x)=ax+b=4x-2.
  • Verificação curta: calcular \langle p-q,1\rangle e \langle p-q,x\rangle dará zero (já garantido pelas equações resolvidas), o que confirma que p-q é ortogonal a 1 e a x.

Resposta

4 x - 2

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