Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Espaço vetorial:
, polinômios reais de grau . - Produto interno:
. - Polinômio a projetar:
- Subespaço de projeção:
, polinômios de grau (ou seja, polinômios da forma ). - O que se pede: determinar a projeção ortogonal de
sobre (ou seja, o polinômio que é a projeção).
As opções fornecidas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 2
Ideia do método (explicada passo a passo, sem pular etapas).
- Definição prática de projeção ortogonal: a projeção ortogonal
de sobre é o elemento de tal que o erro é ortogonal a todo vetor de . - Como
, basta exigir que seja ortogonal a e a . Ou seja: - Escrevemos
com incógnitas e e então transformamos as duas condições acima em duas equações lineares para e . Essa é a forma padrão (sistema normal) para encontrar projeção em subespaços finito-dimensionais.
Passo 3
Escrever explicitamente as equações de ortogonalidade.
- Primeira condição:
Substituindo e : Agrupando termos:
Passo 4
Calcular a integral da primeira condição passo a passo.
- Integral de cada termo:
- Somando:
- Simplificar essa equação:
Portanto a primeira equação reduz-se a
Passo 5
Segunda condição de ortogonalidade e sua forma explícita.
- Segunda condição:
Substituindo e :
Agrupando:
Passo 6
Calcular a integral da segunda condição detalhadamente.
- Integral termo a termo:
- Somando:
- Agrupando os termos de
e e os constantes: Calcular a parte constante numérica: Então obtemos Rearranjando:
Passo 7
Resolver o sistema linear para [a) e
.
- O sistema obtido é
- Da primeira equação isolamos (b]:
- Substituir na segunda:
- Calcular o lado esquerdo com denominador comum
: Então - Usando
obtemos ]
Passo 8
Concluir a projeção e checar (verificação rápida).
- Assim a projeção ortogonal de
sobre é o polinômio - Verificação curta: calcular
e dará zero (já garantido pelas equações resolvidas), o que confirma que é ortogonal a e a .