e o vetor \vec{v}=(-26,-6,16,-2,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
Passo 1
O enunciado fornece uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (listados abaixo, peguei-os do enunciado) e um vetor \vec{v}. O que se pede é a quinta entrada x_{5} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, isto é, o coeficiente da quinta base quando escrevemos \vec{v} em coordenas da base \beta.
Pergunta claramente: calcular x_{5}, a coordenada de \vec{v} relativa a b_{5}.]
Passo 2
Fórmula chave (explicada): quando \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal, ao escrever
\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots+x_{n}b_{n}
podemos obter cada coeficiente x_{i} fazendo o produto interno (produto escalar) de ambos os lados com b_{i}. Como os vetores da base são ortogonais, os produtos cruzados desaparecem e sobra apenas:
Essa fórmula evita resolver sistemas lineares — por isso a dica do enunciado.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso i=5: precisamos calcular \langle \vec{v},b_{5}\rangle (numerador) e \langle b_{5},b_{5}\rangle (denominador). Reescrevo b_{5} (peguei-o do enunciado):