Q16: Considere a base ORTOGONAL de
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 7 \\\\ 5 \\\\ -2 \\\\ -5 \\\\ -7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor
\vec{v}=(-26,-6,16,-2,10).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O enunciado fornece uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada por cinco vetores (listados abaixo, peguei-os do enunciado) e um vetor \vec{v}. O que se pede é a quinta entrada x_{5} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, isto é, o coeficiente da quinta base quando escrevemos \vec{v} em coordenas da base \beta.
Vetores fornecidos (peguei-os do enunciado):
b_{1}=\begin{bmatrix}7\\[4pt]5\\[4pt]-2\\[4pt]-5\\[4pt]-7\end{bmatrix},\\ b_{2}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]-1\\[4pt]-3\end{bmatrix},\\ b_{3}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{bmatrix},\\ b_{4}=\begin{bmatrix}5\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{bmatrix},\\ b_{5}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{bmatrix}.
O vetor dado é
\vec{v}=\begin{bmatrix}-26\\[4pt]-6\\[4pt]16\\[4pt]-2\\[4pt]10\end{bmatrix}.
Pergunta claramente: calcular x_{5}, a coordenada de \vec{v} relativa a b_{5}.]

Passo 2

Fórmula chave (explicada): quando \{b_{1},\dots,b_{n}\} é uma base ortogonal, ao escrever
\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots+x_{n}b_{n}
podemos obter cada coeficiente x_{i} fazendo o produto interno (produto escalar) de ambos os lados com b_{i}. Como os vetores da base são ortogonais, os produtos cruzados desaparecem e sobra apenas:
\langle \vec{v},b_{i}\rangle = x_{i}\,\langle b_{i},b_{i}\rangle.
Daí obtemos a fórmula prática
x_{i}=\frac{\langle \vec{v},b_{i}\rangle}{\langle b_{i},b_{i}\rangle}.
Aqui \langle u,w\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^5, isto é, se u=(u_1,\dots,u_5) e w=(w_1,\dots,w_5) então
\langle u,w\rangle = u_1 w_1 + u_2 w_2 + \cdots + u_5 w_5.
Essa fórmula evita resolver sistemas lineares — por isso a dica do enunciado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso i=5: precisamos calcular \langle \vec{v},b_{5}\rangle (numerador) e \langle b_{5},b_{5}\rangle (denominador). Reescrevo b_{5} (peguei-o do enunciado):
b_{5}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-3\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular o numerador \langle \vec{v},b_{5}\rangle componente a componente:
\begin{aligned} \langle \vec{v},b_{5}\rangle &= (-26)\cdot 1 + (-6)\cdot(-2) + 16\cdot(-3) + (-2)\cdot 2 + 10\cdot(-1)\\[4pt] &= -26 + 12 -48 -4 -10. \end{aligned}
Agora somando passo a passo:
-26 + 12 = -14,\quad -14 -48 = -62,\quad -62 -4 = -66,\quad -66 -10 = -76.
Portanto
\langle \vec{v},b_{5}\rangle = -76.]

Passo 5

Calcular o denominador \langle b_{5},b_{5}\rangle (norma ao quadrado de b_{5}), novamente componente a componente:
\langle b_{5},b_{5}\rangle = 1^{2} + (-2)^{2} + (-3)^{2} + 2^{2} + (-1)^{2} = 1 + 4 + 9 + 4 + 1.
Somando:
1+4=5,\quad 5+9=14,\quad 14+4=18,\quad 18+1=19.
Logo
\langle b_{5},b_{5}\rangle = 19.

Passo 6

Usando a fórmula do Passo 2:
x_{5}=\frac{\langle \vec{v},b_{5}\rangle}{\langle b_{5},b_{5}\rangle}=\frac{-76}{19}.
Fazendo a divisão inteira:
\frac{-76}{19} = -4.

Resposta

x_{5}=-4

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