Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 2 47.6
-2 2 23.3
-1 5 14.5
0 -5 -18.5
1 1 3.5
2 4 29.2
3 4 54.4
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 342.9
(B) 343.9
(C) 344.9
(D) 345.9
(E) 346.9
(F) 347.9
(G) 348.9
(H) 349.9

Passo 1

O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições fornecidas na tabela, e depois use o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(8,6).
Peguei os dados da tabela (cada linha é um ponto (x,y,Z)):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 2 & 47{,}6\\\\ -2 & 2 & 23{,}3\\\\ -1 & 5 & 14{,}5\\\\ 0 & -5 & -18{,}5\\\\ 1 & 1 & 3{,}5\\\\ 2 & 4 & 29{,}2\\\\ 3 & 4 & 54{,}4 \end{array}
Resumo do que precisa ser feito:
  • Determinar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre os Z medidos e os Z preditos pelo modelo.
  • Calcular o valor previsto de Z para x=8 e y=6.
  • Comparar com as alternativas e escolher a melhor aproximação.

Passo 2

Breve explicação do método (muito prática): para um modelo linear nos parâmetros (aqui linear em a,b,c), montamos a matriz de desenho X cujas colunas correspondem às funções multiplicadas por cada parâmetro. Aqui a coluna 1 será x^{2}, a coluna 2 será y e a coluna 3 será 1 (para c). Escrevendo em forma matricial:
\mathbf{Z} = X\boldsymbol{\beta} + \text{ruído}, \qquad \boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.í
A solução de mínimos quadrados (normal equations) é obtida por
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta} = X^{T}\mathbf{Z}.
Aqui \mathbf{Z} é o vetor coluna com as 7 medidas de Z. Vou aplicar isso diretamente com os dados: é um procedimento padrão — soma das colunas, produtos cruzados, resolver o sistema linear 3×3 para \boldsymbol{\beta}.]

Passo 3

Calcular as quantidades necessárias (peguei os x,y,Z da tabela e calculei x^{2} para cada linha).
Os valores de x^{2} por linha são:
9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9.
Agora as somas e produtos que entram em X^{T}X e em X^{T}\mathbf{Z}:
Somas básicas:
\sum x^{2}=28,\qquad \sum y=13,\qquad n=7.
Somas de quadrados e cruzadas:
\sum (x^{2})^{2}=196, \qquad \sum y^{2}=91, \qquad \sum x^{2}y=84.
Somas cruzadas com Z (peguei Z da tabela):
\sum x^{2}Z = 1146{,}0, \qquad \sum yZ = 644{,}7, \qquad \sum Z = 154{,}0.
Com isso, a matriz X^{T}X e o vetor X^{T}\mathbf{Z} são
X^{T}X = \begin{pmatrix} 196 & 84 & 28\\[4pt] 84 & 91 & 13\\[4pt] 28 & 13 & 7 \end{pmatrix},\qquad X^{T}\mathbf{Z}=\begin{pmatrix}1146{,}0\\[4pt]644{,}7\\[4pt]154{,}0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear
\begin{pmatrix} 196 & 84 & 28\\[4pt] 84 & 91 & 13\\[4pt] 28 & 13 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1146{,}0\\[4pt]644{,}7\\[4pt]154{,}0\end{pmatrix}.
Vou resolver por eliminação de Gauss (passos essenciais, com os resultados úteis mostrados).
  1. Eliminação da coluna 1 (usando o pivô 196):
fatores f_{21}=84/196=3/7 e f_{31}=28/196=1/7.
Subtraindo, obtêm-se as linhas reduzidas
\begin{cases} 55\,b + 1\,c = \dfrac{10749}{70}\quad(\text{que é }153{,}557142857\ldots)\\[6pt] 1\,b + 3\,c = -\dfrac{68}{7}\quad(\text{que é }-9{,}714285714\ldots) \end{cases}éé
(estes números vieram de operações racionais com os valores do lado direito mostrados no passo 3).]

Passo 5

Resolver o sistema 2×2 obtido acima por substituição:
Da segunda equação:
b = -\dfrac{68}{7} - 3c.
Substituindo na primeira:
55\!\left(-\dfrac{68}{7}-3c\right) + c = \dfrac{10749}{70}.
Fazendo as operações (colocando tudo em denominadores comuns) chega-se a
-164\,c = \dfrac{48149}{70},
ou seja
c = -\dfrac{48149}{11480}\approx -4{,}19419862.
Com esse c, da equação b = -\dfrac{68}{7}-3c obtemos
b = \dfrac{230489}{80360}\approx 2{,}868310146.
Finalmente, usando a primeira equação completa (linha do pivô):
196\,a + 84\,b + 28\,c = 1146{,}0,
substituindo b e c calcula-se
a \approx 5{,}2173472017.
(Síntese numérica: a\approx5{,}2173472017, b\approx2{,}868310146, c\approx-4{,}19419862.)

Passo 6

Agora prever Z para (x,y)=(8,6). Como o modelo é Z=a x^{2}+b y + c com x^{2}=64, temos
Z(8,6) = a\cdot 64 + b\cdot 6 + c.
Substituindo os valores aproximados:
Z(8,6) \approx 5{,}2173472017\cdot64 \;+\; 2{,}868310146\cdot6 \;+\; (-4{,}19419862).
Calcule passo a passo:
5{,}2173472017\cdot64 \approx 333{,}9102209107,
2{,}868310146\cdot6 \approx 17{,}209860876,
somando e subtraindo:
Z(8,6)\approx 333{,}9102209107 + 17{,}209860876 - 4{,}19419862 \approx 346{,}9258831667.
Arredondando para uma casa decimal temos Z(8,6)\approx 346{,}9.
Comparando com as alternativas, a melhor aproximação é 346{,}9.

Resposta

(E) 346,9

Exercícios relacionados