Q14:Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=4 x^{2}-x+3 na reta gerada por
q(x)=3-4 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 3-4 x é dada pela projeção ortogonal que vocé calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{24}{7}-\frac{32 x}{7}
(B) \frac{57}{14}-\frac{38 x}{7}
(C) \frac{34 x^{2}}{7}-\frac{17 x}{14}+\frac{51}{14}
(D) \frac{51}{14}-\frac{34 x}{7}
(E) \frac{38 x^{2}}{7}-\frac{19 x}{14}+\frac{57}{14}
(F) \frac{36 x^{2}}{7}-\frac{9 x}{7}+\frac{27}{7}
(G) \frac{32 x^{2}}{7}-\frac{8 x}{7}+\frac{24}{7}
(H) \frac{27}{7}-\frac{36 x}{7}

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx
e fornece os polinómios
p(x)=4x^{2}-x+3,\qquad q(x)=3-4x.
Pede-se a projeção ortogonal de p na reta gerada por q; em outras palavras, queremos o polinómio da forma k\,q(x) que é a projeção ortogonal de p sobre \operatorname{span}\{q\}. As informações relevantes são: a definição do produto interno (integração em [0,1]), p(x) e q(x), e que a projeção será um múltiplo escalar de q.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por um vetor q é o escalar c tal que p-cq é ortogonal a q. A condição de ortogonalidade é
\langle p-cq,\,q\rangle=0.
Desenvolvendo, obtemos
\langle p,q\rangle - c\langle q,q\rangle = 0,
portanto
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Aqui \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle são integrais no intervalo [0,1]. A projecção que queremos é
\text{proj}_{\operatorname{span}\{q\}}(p)=c\,q(x).
Isto vem da ideia geométrica: escolhemos c para que a diferença p-cq seja perpendicular a q, o que minimiza a distância entre p e múltiplos de q.

Passo 3

Calcular o numerador \langle p,q\rangle. Primeiro expandimos o produto:
p(x)q(x)=(4x^{2}-x+3)(3-4x).
Multiplicando termo a termo:
(4x^{2})(3)=12x^{2},\quad (4x^{2})(-4x)=-16x^{3},
(-x)(3)=-3x,\quad (-x)(-4x)=4x^{2},
3\cdot 3=9,\quad 3\cdot(-4x)=-12x.
Somando os termos semelhantes obtemos o integrando
p(x)q(x)=-16x^{3}+16x^{2}-15x+9.
Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(-16x^{3}+16x^{2}-15x+9\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}-16x^{3}\,dx=-16\cdot\frac{1}{4}=-4,
\int_{0}^{1}16x^{2}\,dx=16\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{3},
\int_{0}^{1}-15x\,dx=-15\cdot\frac{1}{2}=-\frac{15}{2},
\int_{0}^{1}9\,dx=9.
Somando:
\langle p,q\rangle=-4+\frac{16}{3}-\frac{15}{2}+9.
Colocando em denominador comum 6:
\langle p,q\rangle=\frac{-24+32-45+54}{6}=\frac{17}{6}.

Passo 4

Calcular o denominador \langle q,q\rangle. Expandimos:
q(x)^{2}=(3-4x)^{2}=9-24x+16x^{2}.
Integramos de 0 a 1:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(9-24x+16x^{2}\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}9\,dx=9,\quad \int_{0}^{1}-24x\,dx=-24\cdot\frac{1}{2}=-12,\quad \int_{0}^{1}16x^{2}\,dx=16\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{3}.
Somando:
\langle q,q\rangle=9-12+\frac{16}{3}=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}.

Passo 5

Calcular o escalar c:
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{\tfrac{17}{6}}{\tfrac{7}{3}}=\frac{17}{6}\cdot\frac{3}{7}=\frac{51}{42}=\frac{17}{14}.

Passo 6

Obter a projeção como c\,q(x). Multiplicando:
\text{proj}_{\operatorname{span}\{q\}}(p)=\frac{17}{14}\bigl(3-4x\bigr).
Distribuindo:
\frac{17}{14}\cdot 3=\frac{51}{14},\qquad \frac{17}{14}\cdot 4x=\frac{68}{14}x=\frac{34}{7}x.
Portanto a projeção é o polinómio
\frac{51}{14}-\frac{34}{7}x.

Resposta

(D) \frac{51}{14}-\frac{34 x}{7}

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