Q14:Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que vocé calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o espaço
com o produto interno
e fornece os polinómios
Pede-se a projeção ortogonal de
na reta gerada por
; em outras palavras, queremos o polinómio da forma
que é a projeção ortogonal de
sobre
. As informações relevantes são: a definição do produto interno (integração em
),
e
, e que a projeção será um múltiplo escalar de
.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor
sobre a reta gerada por um vetor
é o escalar
tal que
é ortogonal a
. A condição de ortogonalidade é
Desenvolvendo, obtemos
portanto
Aqui
e
são integrais no intervalo
. A projecção que queremos é
Isto vem da ideia geométrica: escolhemos
para que a diferença
seja perpendicular a
, o que minimiza a distância entre
e múltiplos de
.
Passo 3
Calcular o numerador
. Primeiro expandimos o produto:
Multiplicando termo a termo:
Somando os termos semelhantes obtemos o integrando
Agora integramos de
a
:
Integrando termo a termo:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Passo 4
Calcular o denominador
. Expandimos:
Integramos de
a
:
Integrando termo a termo:
Somando:
Passo 5
Calcular o escalar
:
Passo 6
Obter a projeção como
. Multiplicando:
Distribuindo:
Portanto a projeção é o polinómio
Resposta
(D)