Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe um conjunto gerador de
com 7 vetores que é LD.
II. Nenhum subconjunto de
com 8 vetores e uma base de
.
III. Todo subconjunto de
com 8 vetores 6 LD.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Existe um conjunto gerador de
II. Nenhum subconjunto de
III. Todo subconjunto de
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial com
. Precisa-se avaliar a veracidade das três afirmativas abaixo:
I. Existe um conjunto gerador de com 7 vetores que é LD.
II. Nenhum subconjunto de com 8 vetores é uma base de
.
III. Todo subconjunto de com 8 vetores é LD.
I. Existe um conjunto gerador de
II. Nenhum subconjunto de
III. Todo subconjunto de
Vou trabalhar com essas três afirmações e as informações dadas (
).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, com calma e em miúdos, os conceitos que vamos usar (cada definição com exemplos simples):
- Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Caso contrário é linearmente dependente (LD).
Exemplo: em, é LI; é LD porque . - Um conjunto gera
(é um conjunto gerador ou spanning set) se qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores desse conjunto.
Exemplo:gera . - Uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e gerador.
Exemplo: a base padrãode . - A dimensão de
, , é o número de vetores em qualquer base de . Aqui , então toda base tem exatamente 7 vetores.
Essas definições são as ferramentas que vamos usar.
Passo 3
Vamos enunciar duas propriedades fundamentais (com justificativa curta) que se aplicam a qualquer espaço vetorial de dimensão finita
:
A) Qualquer conjunto gerador de tem pelo menos
vetores. Justificativa: se um conjunto gerador tivesse menos de
vetores, não poderia gerar um espaço cuja menor lista geradora mínima (uma base) tem
vetores; formalmente pode-se extrair de um gerador uma base, então o gerador tem tamanho
.
B) Qualquer conjunto com mais de vetores é LD. Justificativa: suponha haver um conjunto com
vetores LI; então esse conjunto seria uma base estendida e teria mais de
vetores, contradizendo que toda base tem exatamente
vetores. Outra forma: a dimensão da subespaço gerado por
vetores é
, logo existe dependência linear quando
.
A) Qualquer conjunto gerador de
B) Qualquer conjunto com mais de
Essas propriedades são padrão e muito úteis: elas implicam que em espaço de dimensão
bases têm exatamente
vetores; geradores têm
vetores; conjuntos com
vetores são sempre LD.
Passo 4
Análise da afirmativa I: “Existe um conjunto gerador de
com 7 vetores que é LD.”
- Pela propriedade A, um conjunto gerador em
precisa ter pelo menos vetores. Ter exatamente vetores é possível (por exemplo, qualquer base tem exatamente 7 vetores). - Mas se um conjunto tem exatamente
vetores e gera , então, como , esse conjunto é uma base — porque uma base é justamente um gerador mínimo e o número de vetores bate com a dimensão. Bases são LI por definição. - Logo, um conjunto gerador com exatamente
vetores não pode ser LD; teria de ser LI. Portanto a afirmativa I é falsa.
Intuição rápida: em dimensão 7, gerar com 7 vetores força independência — não dá para ter “gerador de tamanho exato da dimensão” que seja dependente.
Passo 5
Análise da afirmativa II: “Nenhum subconjunto de
com 8 vetores é uma base de
.”
- Uma base de
tem exatamente vetores. Qualquer conjunto que seja base deve ter 7 elementos. - Um subconjunto com 8 vetores tem cardinalidade maior que 7, logo não pode ser base (pois base precisa ter 7 vetores). Além disso, pela propriedade B, todo conjunto com
vetores é LD, e um conjunto LD não pode ser base (porque base exige LI). - Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmativa III: “Todo subconjunto de
com 8 vetores é LD.”
- Isso é exatamente a consequência da propriedade B com
: qualquer conjunto com mais de vetores em um espaço de dimensão é linearmente dependente. - Assim, todo subconjunto com
vetores é LD. Logo a afirmativa III é verdadeira.
Passo 7
Resumo das conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto a combinação correta é a opção que diz “Só II e III são verdadeiras.”
Resposta
(B)