Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe um conjunto gerador de V com 7 vetores que é LD.
II. Nenhum subconjunto de V com 8 vetores e uma base de V.
III. Todo subconjunto de V com 8 vetores 6 LD.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial com \dim V = 7. Precisa-se avaliar a veracidade das três afirmativas abaixo:
I. Existe um conjunto gerador de V com 7 vetores que é LD.
II. Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.
III. Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.
Vou trabalhar com essas três afirmações e as informações dadas ( \dim V=7).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, com calma e em miúdos, os conceitos que vamos usar (cada definição com exemplos simples):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero). Caso contrário é linearmente dependente (LD).
    Exemplo: em \mathbb{R}^2, \{(1,0),(0,1)\} é LI; \{(1,0),(2,0)\} é LD porque 2\cdot(1,0)-1\cdot(2,0)=0.
  • Um conjunto gera V (é um conjunto gerador ou spanning set) se qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores desse conjunto.
    Exemplo: \{(1,0),(0,1)\} gera \mathbb{R}^2.
  • Uma base é um conjunto que é ao mesmo tempo LI e gerador.
    Exemplo: a base padrão \{(1,0),(0,1)\} de \mathbb{R}^2.
  • A dimensão de V, \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Aqui \dim V=7, então toda base tem exatamente 7 vetores.
Essas definições são as ferramentas que vamos usar.

Passo 3

Vamos enunciar duas propriedades fundamentais (com justificativa curta) que se aplicam a qualquer espaço vetorial de dimensão finita n:
A) Qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos n vetores. Justificativa: se um conjunto gerador tivesse menos de n vetores, não poderia gerar um espaço cuja menor lista geradora mínima (uma base) tem n vetores; formalmente pode-se extrair de um gerador uma base, então o gerador tem tamanho \ge n.
B) Qualquer conjunto com mais de n vetores é LD. Justificativa: suponha haver um conjunto com m>n vetores LI; então esse conjunto seria uma base estendida e teria mais de n vetores, contradizendo que toda base tem exatamente n vetores. Outra forma: a dimensão da subespaço gerado por m vetores é \le n, logo existe dependência linear quando m>n.
Essas propriedades são padrão e muito úteis: elas implicam que em espaço de dimensão n bases têm exatamente n vetores; geradores têm \ge n vetores; conjuntos com >n vetores são sempre LD.

Passo 4

Análise da afirmativa I: “Existe um conjunto gerador de V com 7 vetores que é LD.”
  • Pela propriedade A, um conjunto gerador em V precisa ter pelo menos 7 vetores. Ter exatamente 7 vetores é possível (por exemplo, qualquer base tem exatamente 7 vetores).
  • Mas se um conjunto tem exatamente 7 vetores e gera V, então, como \dim V=7, esse conjunto é uma base — porque uma base é justamente um gerador mínimo e o número de vetores bate com a dimensão. Bases são LI por definição.
  • Logo, um conjunto gerador com exatamente 7 vetores não pode ser LD; teria de ser LI. Portanto a afirmativa I é falsa.
Intuição rápida: em dimensão 7, gerar com 7 vetores força independência — não dá para ter “gerador de tamanho exato da dimensão” que seja dependente.

Passo 5

Análise da afirmativa II: “Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.”
  • Uma base de V tem exatamente \dim V = 7 vetores. Qualquer conjunto que seja base deve ter 7 elementos.
  • Um subconjunto com 8 vetores tem cardinalidade maior que 7, logo não pode ser base (pois base precisa ter 7 vetores). Além disso, pela propriedade B, todo conjunto com 8>7 vetores é LD, e um conjunto LD não pode ser base (porque base exige LI).
  • Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Análise da afirmativa III: “Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.”
  • Isso é exatamente a consequência da propriedade B com n=7: qualquer conjunto com mais de 7 vetores em um espaço de dimensão 7 é linearmente dependente.
  • Assim, todo subconjunto com 8 vetores é LD. Logo a afirmativa III é verdadeira.

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto a combinação correta é a opção que diz “Só II e III são verdadeiras.”

Resposta

(B)

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