Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -7 \\\\ 3 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ -8\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado (span) pelos quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}3\\\ -7\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ 0\\\ -8\end{pmatrix}.
As opções são (A)\\\ 0,\\ (B)\\\ 1,\\ \text{(C)}\\\ 2,\\ (D)\\\ 3,\\ (E)\\\ 4.

Passo 2

O que significa “dimensão do span”? A definição útil aqui:
  • \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_4\} é o conjunto de todas as combinações lineares a_1v_1+\cdots+a_4v_4.
  • A dimensão desse span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses vetores, isto é, o posto (rank) do conjunto.
    Na prática, podemos formar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o posto por eliminação de Gauss.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2\\[4pt] -3 & 2 & -7 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 7 & -8 \end{pmatrix}.
Vou aplicar operações elementares por linhas para achar o posto (número de linhas não nulas na forma em escada).]

Passo 4

Eliminação — passo a passo.
Primeiro, elimino a entrada -3 em linha 2 usando a linha 1:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.
Elimino a entrada 2 na linha 3 e a entrada 1 na linha 4 usando R_1:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -2 & 4 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Torno o pivô da linha 2 positivo multiplicando por -1:
R_2 \leftarrow -R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -2 & 4 & -6 \end{pmatrix}.
Agora elimino a entrada 1 da linha 3 e -2 da linha 4 usando R_2:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2.
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Escalo a linha 3 para pivot positivo:
R_3 \leftarrow -R_3,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora elimino os valores acima do pivô da coluna 3:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Na forma obtida há três linhas não nulas (pivôs nas colunas 1,2,3) e a quarta linha é zero. Portanto o posto (rank) da matriz é \,3. Logo os quatro vetores geram um subespaço de dimensão 3.

Passo 8

Como curiosidade útil na prova: a presença de três pivôs significa que exatamente três vetores são independentes e o quarto é combinação linear dos três. Podemos encontrar essa combinação lendo a coluna 4 da forma reduzida: os valores na coluna 4 são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} na matriz reduzida, o que corresponde à relação entre colunas original. Verificando diretamente,
2v_1+1v_2-1v_3 =2\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\\\ -3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3\\\ -7\\\ 3\\\ 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ 0\\\ -8\end{pmatrix}=v_4,
confirmando que v_4 depende linearmente de v_1,v_2,v_3.

Resposta

(D) 3

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