As opções são (A)\\\ 0,\\ (B)\\\ 1,\\ \text{(C)}\\\ 2,\\ (D)\\\ 3,\\ (E)\\\ 4.
Passo 2
O que significa “dimensão do span”? A definição útil aqui:
\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_4\} é o conjunto de todas as combinações lineares a_1v_1+\cdots+a_4v_4.
A dimensão desse span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses vetores, isto é, o posto (rank) do conjunto.
Na prática, podemos formar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o posto por eliminação de Gauss.
Passo 3
Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
Na forma obtida há três linhas não nulas (pivôs nas colunas 1,2,3) e a quarta linha é zero. Portanto o posto (rank) da matriz é \,3. Logo os quatro vetores geram um subespaço de dimensão 3.
Passo 8
Como curiosidade útil na prova: a presença de três pivôs significa que exatamente três vetores são independentes e o quarto é combinação linear dos três. Podemos encontrar essa combinação lendo a coluna 4 da forma reduzida: os valores na coluna 4 são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} na matriz reduzida, o que corresponde à relação entre colunas original. Verificando diretamente,