Q15: Seja p(x)=8+21 x+27 x^{2} e \beta=\left\{-1-x-x^{2}, \quad 3+4 x+4 x^{2}, \quad-2+x+3 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -3
(B) 2
(C) -1
(D) -2
(E) 1
(F) 3
(G) -4
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=8+21x+27x^2
e a base
\beta=\{\,-1 - x - x^2,\;3+4x+4x^2,\;-2+x+3x^2\}.
Queremos escrever
p(x)=a(-1 - x - x^2)\;+\;b(3+4x+4x^2)\;+\;c(-2+x+3x^2)
e encontrar a terceira coordenada c.

Passo 2

Comparando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
-a + 3b - 2c = 8
-a + 4b + c = 21
-a + 4b + 3c = 27

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da terceira, temos
(-a+4b+3c) -(-a+4b+c) = 27 - 21
2c = 6
c = 3

Resposta

3

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