Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 5 \\\\ -4 \\\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -9 \\\\ -6 \\\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -3 \\\\ 9 \\\\ -9\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos vetores
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix},\; v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ -4\\\ 4\end{pmatrix},\; v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ -9\\\ -6\\\ 6\end{pmatrix},\; v_{4}=\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ 9\\\ -9\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{4}.
Para isso, vamos usar a ideia de posto (rank) de uma matriz: montamos uma matriz cujas colunas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss para achar quantas colunas são linearmente independentes.

Passo 2

Montamos a matriz
A=\bigl[v_{1}\;\;v_{2}\;\;v_{3}\;\;v_{4}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3\\\\ 1 & 5 & -9 & -3\\\\ -3 & -4 & -6 & 9\\\\ 3 & 4 & 6 & -9 \end{pmatrix}.
Agora aplicamos operações de linha para achar o posto.

Passo 3

Usamos R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-3R_{1}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3\\\\ 0 & 3 & -9 & 0\\\\ 0 & 2 & -6 & 0\\\\ 0 & -2 & 6 & 0 \end{pmatrix}.
Perceba que a segunda linha é \,(0\;3\;-9\;0) e as linhas 3 e 4 são múltiplos dessa:
R_{3}=\tfrac{2}{3}\,R_{2}, \quad R_{4}=-\tfrac{2}{3}\,R_{2}.
Logo só existem duas linhas não nulas e independentes (as linhas 1 e 2).

Passo 4

Como o posto da matriz é 2, exatamente duas colunas são linearmente independentes. Portanto a dimensão do span dos quatro vetores é 2.

Resposta

(C) 2

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