Q13: Determine a dimensão de
.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado pelos vetores
em
.
Para isso, vamos usar a ideia de posto (rank) de uma matriz: montamos uma matriz cujas colunas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss para achar quantas colunas são linearmente independentes.
Para isso, vamos usar a ideia de posto (rank) de uma matriz: montamos uma matriz cujas colunas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss para achar quantas colunas são linearmente independentes.
Passo 2
Montamos a matriz
Agora aplicamos operações de linha para achar o posto.
Passo 3
Usamos
,
,
, obtendo
Perceba que a segunda linha é
e as linhas 3 e 4 são múltiplos dessa:
Logo só existem duas linhas não nulas e independentes (as linhas 1 e 2).
Passo 4
Como o posto da matriz é 2, exatamente duas colunas são linearmente independentes. Portanto a dimensão do span dos quatro vetores é 2.
Resposta
(C) 2