Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V.
II - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 7 vetores.
III - Existe um subconjunto de V com 6 vetores que é LI e não gera V.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 7. Ele apresenta três afirmações sobre subconjuntos de V e pede para determinar quais são verdadeiras, usando os conceitos de base, dimensão, independência linear e geração em espaços vetoriais finito-dimensionais.

Passo 2

Afirmativa I: “Nenhum subconjunto de V com 8 vetores é uma base de V”. Sabemos que toda base de um espaço vetorial de dimensão n tem exatamente n vetores. Como aqui n=7, qualquer conjunto com 8 vetores não pode ser uma base. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa II: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 7 vetores”. Em geral, em um espaço de dimensão n, todo conjunto de vetores linearmente independentes tem cardinalidade \le n. Logo, em V qualquer conjunto LI tem no máximo 7 vetores. Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa III: “Existe um subconjunto de V com 6 vetores que é LI e não gera V”. Tome uma base de V com 7 vetores. Um subconjunto qualquer de 6 desses vetores continua sendo LI (subconjunto de base) mas, por ter menos de 7 vetores, não pode gerar todo V. Assim, III é verdadeira.

Resposta

(C) Todas são verdadeiras.

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