Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de
com 8 vetores é uma base de
.
II - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 7 vetores.
III - Existe um subconjunto de
com 6 vetores que é LI e não gera
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.
I - Nenhum subconjunto de
II - Todo subconjunto LI de
III - Existe um subconjunto de
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Apenas II é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
. Ele apresenta três afirmações sobre subconjuntos de
e pede para determinar quais são verdadeiras, usando os conceitos de base, dimensão, independência linear e geração em espaços vetoriais finito-dimensionais.
Passo 2
Afirmativa I: “Nenhum subconjunto de
com 8 vetores é uma base de
”. Sabemos que toda base de um espaço vetorial de dimensão
tem exatamente
vetores. Como aqui
, qualquer conjunto com
vetores não pode ser uma base. Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa II: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 7 vetores”. Em geral, em um espaço de dimensão
, todo conjunto de vetores linearmente independentes tem cardinalidade
. Logo, em
qualquer conjunto LI tem no máximo
vetores. Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa III: “Existe um subconjunto de
com 6 vetores que é LI e não gera
”. Tome uma base de
com 7 vetores. Um subconjunto qualquer de 6 desses vetores continua sendo LI (subconjunto de base) mas, por ter menos de 7 vetores, não pode gerar todo
. Assim, III é verdadeira.
Resposta
(C) Todas são verdadeiras.