Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto de
com 6 vetores é LD.
II. Existe um subconjunto de
com 4 vetores que é LI e não gera
.
III. Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de
.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
I. Todo subconjunto de
II. Existe um subconjunto de
III. Nem todo subconjunto LI de
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
com
e pede para avaliar a veracidade das afirmativas I, II e III:
- I. Todo subconjunto de
com 6 vetores é linearmente dependente (LD). - II. Existe um subconjunto de
com 4 vetores que é linearmente independente (LI) e não gera . - III. Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de .
A tarefa é decidir quais afirmativas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre as opções (A)–(H).
Passo 2
Relembre (aulas rápidas e úteis):
- Definição: Um conjunto de vetores gera
se seu span (fecho linear) é todo . - Definição: Um conjunto é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores dá o vetor zero.
- Teorema importante (que vamos usar): Em um espaço vetorial de dimensão
: - Qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. - Qualquer conjunto LI tem no máximo
vetores. - Qualquer conjunto LI com exatamente
vetores é uma base (ou seja, gera ).
Vou explicar essas afirmações de forma bem concreta no próximo passo.
- Qualquer conjunto com mais de
Passo 3
Justificativa do primeiro item do teorema (intuitionada): se
existem
vetores que formam uma base; todo vetor em
é combinação linear desses
. Se tivermos
vetores, então pelo princípio da casa dos pombos linear (ou pelo fato de que a dimensão é o tamanho máximo de conjuntos LI) esses
vetores não podem ser todos LI — logo são LD. Esse é um resultado padrão e direto em teoria de espaços vetoriais.
Passo 4
Aplicando a ideia ao enunciado — afirmativa I:
- Temos
. Qualquer conjunto com mais de vetores (ou seja, com vetores) deve ser LD por causa do teorema acima. - Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto (para sentir o caso): em
os vetores
formam uma base; se eu pegar mais um vetor qualquer, ele será combinação desses cinco, então o conjunto com seis vetores é LD.
Passo 5
Analisando a afirmativa II:
- Queremos mostrar que existe um subconjunto com 4 vetores que é LI e não gera
. - Tomemos uma base qualquer de
, que tem exatamente vetores porque . Chame-os de . - O subconjunto
é um subconjunto de uma base, portanto é LI (qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI). - Esse subconjunto tem apenas
vetores; seu espaço gerado tem dimensão no máximo , logo não pode ser todo (que tem dimensão ). Portanto não gera . - Conclusão: existe (de fato muitos) subconjuntos com
vetores que são LI e não geram . Afirmativa II é verdadeira.
Exemplo concreto: em
, os vetores
são LI e não geram
(porque não conseguem produzir
).
Passo 6
Analisando a afirmativa III:
- Afirmação III diz: “Nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base de .” Ou seja, está afirmando que existe algum conjunto LI com vetores que não seja base. - Mas pelo teorema que lembramos: em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto LI com exatamente vetores já gera o espaço, portanto é base. - Aplicando aqui:
. Qualquer conjunto LI com vetores gera , logo é base. - Logo a sentença “nem todo subconjunto LI de
com 5 vetores é uma base” é falsa — na verdade todo subconjunto LI com 5 vetores é uma base. - Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Uma prova curta e direta do porquê: se um conjunto LI
tem
e não gerasse
, poderia-se acrescentar um vetor fora do span de
e obter um conjunto LI com 6 vetores, contradizendo
.
Passo 7
Juntando as conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.
Resposta
(B) Só I e II são verdadeiras.