Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto de V com 6 vetores é LD.
II. Existe um subconjunto de V com 4 vetores que é LI e não gera V.
III. Nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base de V.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V com \dim V = 5 e pede para avaliar a veracidade das afirmativas I, II e III:
  • I. Todo subconjunto de V com 6 vetores é linearmente dependente (LD).
  • II. Existe um subconjunto de V com 4 vetores que é linearmente independente (LI) e não gera V.
  • III. Nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base de V.
A tarefa é decidir quais afirmativas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre as opções (A)–(H).

Passo 2

Relembre (aulas rápidas e úteis):
  • Definição: Um conjunto de vetores gera V se seu span (fecho linear) é todo V.
  • Definição: Um conjunto é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores dá o vetor zero.
  • Teorema importante (que vamos usar): Em um espaço vetorial de dimensão n:
    • Qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente.
    • Qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores.
    • Qualquer conjunto LI com exatamente n vetores é uma base (ou seja, gera V).
      Vou explicar essas afirmações de forma bem concreta no próximo passo.

Passo 3

Justificativa do primeiro item do teorema (intuitionada): se \dim V = n existem n vetores que formam uma base; todo vetor em V é combinação linear desses n. Se tivermos n+1 vetores, então pelo princípio da casa dos pombos linear (ou pelo fato de que a dimensão é o tamanho máximo de conjuntos LI) esses n+1 vetores não podem ser todos LI — logo são LD. Esse é um resultado padrão e direto em teoria de espaços vetoriais.

Passo 4

Aplicando a ideia ao enunciado — afirmativa I:
  • Temos \dim V = 5. Qualquer conjunto com mais de 5 vetores (ou seja, com 6 vetores) deve ser LD por causa do teorema acima.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Exemplo concreto (para sentir o caso): em \mathbb{R}^5 os vetores \mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_5 formam uma base; se eu pegar mais um vetor qualquer, ele será combinação desses cinco, então o conjunto com seis vetores é LD.

Passo 5

Analisando a afirmativa II:
  • Queremos mostrar que existe um subconjunto com 4 vetores que é LI e não gera V.
  • Tomemos uma base qualquer de V, que tem exatamente 5 vetores porque \dim V = 5. Chame-os de b_1,b_2,b_3,b_4,b_5.
  • O subconjunto \{b_1,b_2,b_3,b_4\} é um subconjunto de uma base, portanto é LI (qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI).
  • Esse subconjunto tem apenas 4 vetores; seu espaço gerado tem dimensão no máximo 4, logo não pode ser todo V (que tem dimensão 5). Portanto não gera V.
  • Conclusão: existe (de fato muitos) subconjuntos com 4 vetores que são LI e não geram V. Afirmativa II é verdadeira.
Exemplo concreto: em \mathbb{R}^5, os vetores \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3,\mathbf{e}_4 são LI e não geram \mathbb{R}^5 (porque não conseguem produzir \mathbf{e}_5).

Passo 6

Analisando a afirmativa III:
  • Afirmação III diz: “Nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base de V.” Ou seja, está afirmando que existe algum conjunto LI com 5 vetores que não seja base.
  • Mas pelo teorema que lembramos: em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto LI com exatamente n vetores já gera o espaço, portanto é base.
  • Aplicando aqui: n=5. Qualquer conjunto LI com 5 vetores gera V, logo é base.
  • Logo a sentença “nem todo subconjunto LI de V com 5 vetores é uma base” é falsa — na verdade todo subconjunto LI com 5 vetores é uma base.
  • Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Uma prova curta e direta do porquê: se um conjunto LI S tem |S|=5 e não gerasse V, poderia-se acrescentar um vetor fora do span de S e obter um conjunto LI com 6 vetores, contradizendo \dim V=5.

Passo 7

Juntando as conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras”.

Resposta

(B) Só I e II são verdadeiras.

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