Q15. Sobre as equações diferenciais
cc 6 y^prime prime-y^prime-y=0, & y^prime prime+2 y^prime+252 y=0, y^prime prime+5 y^prime+y=0, & 4 y^prime prime+9 y=0,
(a) Exiba a Equação Característica associada.
(b) Encontre as raízes das Equações Características.
(c) Exiba a solução geral.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para cada uma delas vamos:
  1. Supor y=e^r x e obter a equação característica em r.
  2. Resolver essa equação para encontrar as raízes r.
  3. Escrever a solução geral y(x) com base nas raízes encontradas.

Passo 2

Para
6y''-y'-y=0
  1. Suposição y=e^r x leva a
6r^2 - r - 1 = 0
  1. As raízes vêm de
r = 1 pm raiz1 + 2412 = 1 pm 512,
isto é,
r1 = tfrac12, r2 = -tfrac13
  1. Como são raízes reais distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^tfrac12 x + C2 e^-tfrac13 x

Passo 3

Para
y'' + 2y' + tfrac252y = 0
  1. Substituindo y=e^r x obtemos
r^2 + 2r + tfrac252 = 0
  1. O discriminante é 4 - 50 = -46, logo
r = -2 pm iraiz462 = -1 pm i,tfracraiz462
  1. Com raízes complexas alpha=-1 e beta=tfracraiz462,
y(x) = e^-xl(C1 cosl(tfracraiz462xr) + C2 sinl(tfracraiz462xr)r)

Passo 4

Para
y'' + 5y' + y = 0
  1. A característica é
r^2 + 5r + 1 = 0
  1. As raízes são
r = -5 pm raiz25 - 42 = -5 pm raiz212
  1. Sendo reais e distintas,
y(x) = C1 e^tfrac-5 + raiz212,x + C2 e^tfrac-5 - raiz212,x

Passo 5

Para
4y'' + 9y = 0
  1. Dividindo por 4 e usando y=e^r x
r^2 + tfrac94 = 0
  1. Assim
r = pm i,tfrac32
  1. Com raízes puramente imaginárias, a solução é
y(x) = C1 cos!l(tfrac32xr) + C2 sin!l(tfrac32xr)

Resposta

As soluções gerais de cada equação são:
(1) Para 6y''-y'-y=0:
y(x) = C1 e^tfrac12 x + C2 e^-tfrac13 x
(2) Para y''+2y'+tfrac252y=0:
y(x) = e^-xl(C1 cosl(tfracraiz462xr) + C2 sinl(tfracraiz462xr)r)
(3) Para y''+5y'+y=0:
y(x) = C1 e^tfrac-5 + raiz212,x + C2 e^tfrac-5 - raiz212,x
(4) Para 4y''+9y=0:
y(x) = C1 cos!l(tfrac32xr) + C2 sin!l(tfrac32xr)

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