Q15. Sobre as equações diferenciais
(a) Exiba a Equação Característica associada.
(b) Encontre as raízes das Equações Características.
(c) Exiba a solução geral.
(b) Encontre as raízes das Equações Características.
(c) Exiba a solução geral.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para cada uma delas vamos:
- Supor
e obter a equação característica em . - Resolver essa equação para encontrar as raízes
. - Escrever a solução geral
com base nas raízes encontradas.
Passo 2
Para
- Suposição
leva a
- As raízes vêm de
isto é,
- Como são raízes reais distintas, a solução geral é
Passo 3
Para
- Substituindo
obtemos
- O discriminante é
, logo
- Com raízes complexas
e ,
Passo 4
Para
- A característica é
- As raízes são
- Sendo reais e distintas,
Passo 5
Para
- Dividindo por 4 e usando
dá
- Assim
- Com raízes puramente imaginárias, a solução é
Resposta
As soluções gerais de cada equação são:
(1) Para
:
(2) Para
:
(3) Para
:
(4) Para
: