Q14. Uma substância se dissolve em um tanque de água em movimento constante. A relação entre a concentração C e o tempo t satisfaz:
(C+e^t) d t+t d C=0
Encontre a expressão da concentração C(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial exata modificada
l(C+e^tr),dt + t,dC = 0
e pede a solução geral C(t). O conteúdo aqui é equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Transformamos para a forma padrão em dC/dt. Dividindo por dt e isolando dC/dt, obtemos
tdCdt + C + e^t = 0 Longrightarrow tdCdt + C = -e^t

Passo 3

Colocamos na forma
dCdt + 1t,C = -e^tt
Aqui P(t)=1/t e Q(t)=-e^t/t. A partir disso, calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!gl(integral 1t,dtgr) = exp(ln|t|) = t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante t:
tdCdt + C = -e^t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t,C, pois
ddtl(t,Cr) = tdCdt + C

Passo 5

Integramos em t ambos os lados:
ddtl(t,Cr) = -e^t Longrightarrow t,C = integral -e^t,dt = -e^t + K,
onde K é a constante de integração.

Passo 6

Isolando C(t), vem
C(t) = -e^t + Kt = K - e^tt

Resposta

C(t) = K - e^tt,
onde K é a constante de integração.

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