(4 pts) Imagine que você é o engenheiro de desenvolvimento na divisão de motores de corrida de uma grande montadora. Sua equipe está finalizando a calibração do motor de combustão interna do novo véculo de rali, o Dune Raider, projetado para competições de resistência no deserto. O motor opera segundo um ciclo de ar-padrão Otto ideal. Para garantir a durabilidade em ambientes extremos, você limitou a razăo de compressão do motor em 8. Os sensores no coletor de admissão indicam que, no início do tempo de compressão, o ar é aspirado a 100 kPa e 17 { }^{\circ} \mathrm{C}. Durante a fase de combustão (modelada como fornecimento de calor a volume constante), a injeção de combustível libera o equivalente a 800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de energia térmica para o ar dentro do cilindro. Determine:
a. Mapeamento do Ciclo: Esboce os diagramas T-s (Temperatura-Entropia) e P-v (Pressão-Volume) do ciclo, indicando claramente os quatro processos termodinâmicos.
b. Desempenho de Potência: Calcule o trabalho liquido produzido pelo motor por unidade de massa de ar (kJ/kg).
c. Eficiência Energética: Determine a eficiência térmica do ciclo nessas condições.
d. Parâmetro de Projeto: Calcule a Pressão Média Efetiva (PME) do ciclo, com este valor é possivel comparar este motor com outros de diferentes cilindradas.
e. Você informou que limitou a razăo de compressăo para 8 para garantir a durabilidade em ambientes extremos. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas e fornece os dados a seguir (peguei-os diretamente do enunciado):
  • Pedidos:
    a. Esboçar os diagramas T\!-\!s e P\!-\!v do ciclo Otto ideal, indicando os quatro processos.
    b. Calcular o trabalho líquido produzido por unidade de massa de ar (\text{kJ/kg}).
    c. Determinar a eficiência térmica do ciclo.
    d. Calcular a Pressão Média Efetiva (PME) do ciclo.
    e. Justificar porque foi limitada a razão de compressão para 8.
  • Dados fornecidos:
    • Razão de compressão: r=\dfrac{V_1}{V_2}=8.
    • Estado 1 (início da compressão): P_1=100\\ \text{kPa} e T_1=17^\circ\text{C}=290\\ \text{K}.
    • Calor liberado por injeção (adição de calor a volume constante): q_{in}=800\\ \text{kJ/kg}.
  • Observação (assunção padrão para este tipo de problema): usar o modelo ar-padrão (gás ideal com calores específicos constantes). Valores típicos para ar:
    \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=1{,}4,\qquad R=0{,}287\\ \text{kJ/(kg K)}.
    Daí
    c_v=\dfrac{R}{\gamma-1}=0{,}287/0{,}4=0{,}7175\\ \text{kJ/(kg K)}\\ (\text{aprox }0{,}718),
c_p=c_v+R\approx1{,}005\\ \text{kJ/(kg K)}.

Passo 2

Conceitos essenciais (mini-aula curta, sem pular passos):
  • Cilindros do ciclo Otto ideal (ordem dos estados):
    1 \to 2: compressão adiabática reversível (isen­trópica) — volume diminui de V_1 para V_2.
    2 \to 3: adição de calor a volume constante (combustão idealizada).
    3 \to 4: expansão adiabática reversível (isen­trópica) — potência.
    4 \to 1: rejeição de calor a volume constante (resfriamento para o estado inicial).
  • Relações úteis para processos isentrópicos (gás ideal, c_p,c_v constantes):
    T_2=T_1 r^{\gamma-1},\qquad P_2=P_1 r^{\gamma}.
    Essas fórmulas vêm de PV^\gamma=\text{const} e PV=RT.
  • Para adição de calor a volume constante:
    q_{in}=c_v\left(T_3-T_2\right)\quad\Rightarrow\quad T_3=T_2+\dfrac{q_{in}}{c_v}.
  • Para expansão isentrópica:
    T_4=T_3 r^{-(\gamma-1)}=\dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}}.
  • Energia trocada e trabalho líquido por unidade de massa:
    q_{out}=c_v\left(T_4-T_1\right),\qquad W_{net}=q_{in}-q_{out}.
  • Eficiência térmica do ciclo Otto (fórmula padrão, que se obtém ao dividir W_{net} por q_{in} e simplificar usando as relações isentrópicas):
    \eta_{\text{Otto}}=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}.
    Essa expressão mostra que, para o ciclo Otto ideal com c_v constante, a eficiência depende só de r e \gamma.
  • Pressão média efetiva (PME): é a razão entre trabalho líquido por ciclo por unidade de deslocamento (volume deslocado), expressa comumente em kPa:
    \text{PME}=\dfrac{W_{net}}{v_1-v_2},
    onde v_i são volumes específicos ( \text{m}^3/\text{kg}). Para gás ideal, v_1=\dfrac{R T_1}{P_1} e v_2=v_1/r.

Passo 3

Calcular T_2 (compressão isentrópica):
  • Primeiro calcular r^{\gamma-1}: r^{\gamma-1}=8^{1{,}4-1}=8^{0{,}4}\approx2{,}2991.
  • Aplicando T_2=T_1 r^{\gamma-1}: T_2=290\cdot2{,}2991\approx666{,}7\\ \text{K}.
Calcular P_2 (opcional aqui, será útil depois):
r^{\gamma}=8^{1{,}4}\approx18{,}3928,\qquad P_2=P_1 r^{\gamma}=100\cdot18{,}3928\approx1839{,}3\\ \text{kPa}.
Explanação: a compressão isentrópica aumenta a temperatura por um fator r^{\gamma-1}; para r=8 isso já produz um salto grande em T e em P.

Passo 4

Calcular T_3 pela adição de calor a volume constante:
T_3=T_2+\dfrac{q_{in}}{c_v}=666{,}7+\dfrac{800}{0{,}718}\approx666{,}7+1114{,}8\approx1781{,}5\\ \text{K}.
Calcular P_3 (porque volume é constante entre 2 e 3, P\propto T):
P_3=P_2\cdot\dfrac{T_3}{T_2}\approx1839{,}3\cdot\dfrac{1781{,}5}{666{,}7}\approx4913\\ \text{kPa}.
Breve comentário didático: a injeção que deu 800\\ \text{kJ/kg} elevou muito a temperatura do ar comprimido — isso é normal num motor de alto desempenho mas explica por que pressões/perfis de pico sobem bastante.

Passo 5

Calcular T_4 (expansão isentrópica):
T_4=\dfrac{T_3}{r^{\gamma-1}}=\dfrac{1781{,}5}{2{,}2991}\approx774{,}96\\ \text{K}.
Calcular P_4. Uso a relação P_4=P_3\cdot\left(\dfrac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma}. Como V_4=V_1 e V_3=V_2, tem V_3/V_4=1/r, então
P_4=\dfrac{P_3}{r^{\gamma}}=\dfrac{4913}{18{,}3928}\approx267{,}2\\ \text{kPa}.
(Verificação alternativa: P_4=P_1\cdot\dfrac{T_4}{T_1}=100\cdot\dfrac{774{,}96}{290}\approx267{,}6\\ \text{kPa}; pequenas diferenças por arredondamento.)
Explicação pedagógica: após expansão, a temperatura e pressão caem — o trabalho feito na haste reduz a energia interna.

Passo 6

Calcular o calor rejeitado q_{out} e o trabalho líquido W_{net}:
q_{out}=c_v\left(T_4-T_1\right)=0{,}718\cdot\left(774{,}96-290\right)=0{,}718\cdot484{,}96\approx348{,}0\\ \text{kJ/kg}.
W_{net}=q_{in}-q_{out}=800-348{,}0\approx452{,}0\\ \text{kJ/kg}.
Comentário: o trabalho líquido por massa de ar é o que sobra do calor injetado após a rejeição; aqui dá cerca de 452\\ \text{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a eficiência térmica \eta do ciclo de duas formas (verificação):
  1. Usando energias:
\eta=\dfrac{W_{net}}{q_{in}}=\dfrac{452{,}0}{800}\approx0{,}565\\ \text{ou}\\\ 56{,}5\%.
  1. Usando a fórmula teórica do ciclo Otto:
\eta_{\text{Otto}}=1-\dfrac{1}{r^{\gamma-1}}=1-\dfrac{1}{2{,}2991}\approx1-0{,}4349\approx0{,}5651\\ (56{,}51\%),
que coincide (boa verificação).
Mini-aula: essa fórmula mostra por que aumentar r aumenta a eficiência — até certo ponto. Mas um r muito alto causa problemas práticos (ver passo 11).

Passo 8

Calcular volumes específicos e a Pressão Média Efetiva (PME):
  • Volume específico no ponto 1:
    v_1=\dfrac{R T_1}{P_1}=\dfrac{0{,}287\cdot290}{100}\approx0{,}8323\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Volume específico no ponto 2:
    v_2=\dfrac{v_1}{r}=\dfrac{0{,}8323}{8}\approx0{,}1040\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Volume deslocado por kg de ar:
    v_1-v_2\approx0{,}8323-0{,}1040=0{,}7283\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Então PME:
    \text{PME}=\dfrac{W_{net}}{v_1-v_2}=\dfrac{452{,}0}{0{,}7283}\approx620{,}6\\ \text{kPa}\approx6{,}206\\ \text{bar}.
Explicação: a PME é útil porque converte o trabalho específico do ciclo numa pressão média equivalente sobre o pistão — permite comparação entre motores com deslocamentos diferentes.

Passo 9

Resumo numérico (valores-chave calculados; úteis para o esboço do ciclo):
  • Temperaturas: T_1=290\\ \text{K},\quad T_2\approx666{,}7\\ \text{K},\quad T_3\approx1781{,}5\\ \text{K},\quad T_4\approx774{,}0\\ \text{K}.
  • Pressões: P_1=100\\ \text{kPa},\quad P_2\approx1839{,}3\\ \text{kPa},\quad P_3\approx4913\\ \text{kPa},\quad P_4\approx267{,}2\\ \text{kPa}.
  • Trabalho líquido por unidade de massa: W_{net}\approx452{,}0\\ \text{kJ/kg}.
  • Eficiência: \eta\approx56{,}5\%.
  • PME: \text{PME}\approx620{,}6\\ \text{kPa}\\ (\approx6{,}21\\ \text{bar}).

Passo 10

Resposta à parte (a): como esboçar os diagramas T\!-\!s e P\!-\!v e o que marcar (instruções para desenhar na folha de prova):
  • Diagrama P\!-\!v:
    • Desenhe um ciclo com quatro ramos fechados: 1 \to 2 curva para cima à esquerda (compressão adiabática: P sobe, v diminui), 2 \to 3 vertical (aproximadamente vertical porque é volume constante) subindo (pressão sobe na adição de calor), 3 \to 4 curva para baixo à direita (expansão adiabática: P cai, v aumenta), 4 \to 1 vertical descendo (volume constante, rejeição de calor). Marcar claramente os pontos 1,2,3,4 e indicar V_1>V_2.
  • Diagrama T\!-\!s:
    • Desenhe dois segmentos verticais para 1 \to 2 (isen­trópico, s constante, temperatura sobe) e 3 \to 4 (isen­trópico, s constante, temperatura cai). Entre 2 e 3, desenhe uma curva para a direita para cima (adição de calor a volume constante: T aumenta e s aumenta). Entre 4 e 1, desenhe uma curva para a esquerda para baixo (rejeição de calor a volume constante: T cai e s diminui). Indicar o sentido do ciclo (1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1).
    • Observação: em T\!-\!s os processos isentrópicos aparecem como linhas verticais (constante s); os processos a volume constante deslocam-se para a direita (aumento de entropia) ou para a esquerda (redução).
(Estas instruções são o “esboço” pedido; para a prova desenhe conforme indicado e marque os valores numéricos principais que calculei.)

Passo 11

Justificativa técnica para ter limitado r a 8 (item e):
  • Efeito na eficiência: aumentar r aumenta a eficiência do Otto ( \eta=1-1/r^{\gamma-1}). Porém há trade-offs práticos:
    • Pressões e temperaturas máximas aumentam fortemente com r. Por exemplo, para r=8 já temos P_2\approx1{,}84\\ \text{MPa} e T_3\approx1782\\ \text{K}. Valores maiores de r aumentariam ainda mais esses picos.
    • Picos de pressão elevam esforços mecânicos nas paredes, pistão, biela e virabrequim e exigem materiais/engenharia mais caros (maior massa, menor durabilidade sob fadiga).
    • Picos de temperatura favorecem detonação (knock) em motores a gasolina: isso exige combustíveis de octanagem maior ou redução de avanço, afetando desempenho e durabilidade. Em competição off-road/deserto, a temperatura de admissão já é alta e a octanagem efetiva reduzida — aumentar r aumenta muito a probabilidade de pré-ignição.
    • Maior temperatura de pico também aumenta oxidação e esforços térmicos nas válvulas, pistões e revestimentos, reduzindo vida útil sob condições extremas (areia, poeira, longas provas de resistência).
  • Conclusão prática: r=8 é um compromisso entre boa eficiência e controle dos picos térmicos e mecânicos, garantindo durabilidade em ambiente severo (deserto) sem exigir soluções de materiais ou combustíveis impraticáveis para corrida de resistência.

Resposta

(a) Instruções para esboço fornecidas: ciclo Otto com processos 1→2 isentrópico (compressão), 2→3 calor a v constante, 3→4 isentrópico (expansão), 4→1 rejeição a v constante; no P\!-\!v desenhar dois ramos verticais em 2→3 e 4→1 e dois curvos isentrópicos; no T\!-\!s isentrópicos verticais e processos a v constante deslocando-se à direita/esquerda.
(b) W_{net}\approx452{,}0\\ \text{kJ/kg}.
(c) \eta\approx56{,}5\%.
(d) \text{PME}\approx620{,}6\\ \text{kPa}\\ (\approx6{,}21\\ \text{bar}).
(e) A razão r foi limitada a 8 porque, apesar de maiores r aumentarem a eficiência, eles também elevam muito as temperaturas e pressões de pico (ex.: P_2\approx1{,}84\\ \text{MPa}, T_3\approx1782\\ \text{K} já para r=8), o que aumenta risco de detonação, esforços mecânicos e danos térmicos — problemas críticos em provas de resistência no deserto; r=8 é um compromisso entre eficiência e durabilidade.

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