( 5 pts) No centro de pesquisas aeroespaciais, vocé é responsável pela análise termodinâmica preliminar da turbina a gás que equipará um aviâo supersônico. O sistema de propulsăo é modelado como um ciclo de ar-padrăo Brayton ideal operando em regime permanente.
As condições atmosféricas de projeto na altitude de cruzeiro definem a entrada do compressor a 290 K e 100 kPa . Devido às limitações metalúrgicas das paletas da turbina de alta pressăo, o sistema de controle limita a temperatura na entrada da turbina a fixos 1900 K . O compressor do motor foi projetado para operar com uma relação de pressão de 10. Com estas informações em mãos.
a. Análise de Potência e Diagrama: Monte o diagrama T-s do ciclo e determine a potência liquida desenvolvida por unidade de massa em escoamento (kJ/kg).
b. Eficiência de Conversão: Determine a eficiéncia térmica do ciclo para validar se o projeto atende aos requisitos mínimos de autonomia da aeronave.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • (a) “Monte o diagrama T\!-\!s do ciclo e determine a potência líquida desenvolvida por unidade de massa em escoamento (kJ/kg).”
  • (b) “Determine a eficiência térmica do ciclo.”
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura de entrada do compressor: T_1 = 290\\ \text{K}.
  • Pressão de entrada do compressor: p_1 = 100\\ \text{kPa}. (valor usado só para identificar o estado de baixa pressão; o que importa é a razão de pressão)
  • Temperatura na entrada da turbina (máxima do ciclo): T_3 = 1900\\ \text{K} (limitada por metalurgia).
  • Razão de pressão do compressor: \dfrac{p_2}{p_1} = r_p = 10.
  • Ciclo: ciclo Brayton ideal (ar-padrão) em regime permanente, processos ideais (compressor e turbina isentrópicos, aquecimento e rejeição de calor a pressão constante).
  • Não foi dado outro dado termofísico do ar, então vou assumir propriedades constantes típicas do ar a plano atmosférico (hipótese usual em exercícios de Brayton ideal):
    • c_p = 1{,}005\\ \text{kJ}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.
    • \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} = 1{,}4.
Vou usar essas hipóteses e as fórmulas padrão do ciclo Brayton ideal para calcular as temperaturas nos estados e daí a potência específica e eficiência.

Passo 2

Relembrando (passo-a-passo didático) as etapas do ciclo Brayton ideal e as fórmulas que vamos usar:
  • Estados: 1 \xrightarrow{\text{isentrópico}}ó 2 (compressor), 2 \xrightarrow{\text{isobárico}}á 3 (câmara de combustão: calor entra), 3 \xrightarrow{\text{isentrópico}}ó 4 (turbina), 4 \xrightarrow{\text{isobárico}}á 1 (rejeição de calor).
  • Para um processo isentrópico de gás perfeito com razão de calores \gamma, a relação entre temperaturas e pressões é:
T_2 = T_1 \left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \qquad\text{e}\qquad T_4 = T_3 \left(\dfrac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
No ciclo ideal simples temos p_2 = p_3 e p_1 = p_4, logo \dfrac{p_2}{p_1}=r_p e \dfrac{p_4}{p_3}=1/r_p. Assim:
T_2 = T_1\, r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},\qquad T_4 = T_3\, r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Trabalhos específicos (por unidade de massa), assumindo c_p constante:
w_{c} = c_p (T_2 - T_1)\quad\text{(trabalho do compressor, positivo como entrada)}
w_{t} = c_p (T_3 - T_4)\quad\text{(trabalho produzido pela turbina)}
  • Trabalho líquido específico:
w_{net} = w_{t} - w_{c} = c_p\big[(T_3 - T_4) - (T_2 - T_1)\big].
  • Calor fornecido por unidade de massa:
q_{in} = c_p (T_3 - T_2).
  • Eficiência térmica do ciclo:
\eta = \dfrac{w_{net}}{q_{in}}.
Há também a forma conhecida (quando processos são isentrópicos e c_p constante) que faz a eficiência depender só da razão de pressão:
\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Vou usar essas fórmulas, explicando cada passo de cálculo.

Passo 3

Calcular o expoente isentrópico e T_2.
  • Expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
  • Fator r_p^{(\gamma-1)/\gamma} com r_p=10:
r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=10^{0{,}285714\ldots}\approx 1{,}9307.
  • Agora T_2:
T_2 = T_1\, r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 290\cdot 1{,}9307 \approx 559{,}9\\ \text{K}.
(Explicação curta: isso significa que a compressão isentrópica eleva a temperatura do ar de 290\\ \text{K} para cerca de 560\\ \text{K} devido à razão de pressão 10.)

Passo 4

Calcular T_4 usando a relação simétrica (expansão isentrópica na turbina):
T_4 = T_3\, r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 1900\cdot 1{,}9307^{-1} \approx \frac{1900}{1{,}9307}\approx 984{,}7\\ \text{K}.
(Interpretação: a turbina expande do nível de pressão alta até a pressão de entrada do compressor, reduzindo a temperatura de 1900\\ \text{K} para cerca de 985\\ \text{K} sob expansão isentrópica.)

Passo 5

Calcular os trabalhos específicos do compressor e da turbina (passo-a-passo numérico):
  • Trabalho do compressor:
w_c = c_p (T_2 - T_1) = 1{,}005\cdot(559{,}9 - 290)\\ \text{kJ/kg}.
Calcule a diferença de temperaturas:
T_2 - T_1 = 559{,}9 - 290 = 269{,}9\\ \text{K}.
Agora multiplicando por c_p:
w_c \approx 1{,}005\cdot 269{,}9 \approx 271{,}3\\ \text{kJ/kg}.
  • Trabalho da turbina:
w_t = c_p (T_3 - T_4) = 1{,}005\cdot(1900 - 984{,}7)\\ \text{kJ/kg}.
Diferença:
T_3 - T_4 = 1900 - 984{,}7 = 915{,}3\\ \text{K}.
Multiplicando:
w_t \approx 1{,}005\cdot 915{,}3 \approx 919{,}8\\ \text{kJ/kg}.
(Observação didática: sempre que multiplicar pela unidade c_p obtém-se trabalho/energia por kg, por isso usamos kJ/kg.)

Passo 6

Calcular o trabalho líquido específico w_{net}:
w_{net} = w_t - w_c \approx 919{,}8 - 271{,}3 = 648{,}5\\ \text{kJ/kg}.
Portanto, a potência líquida por unidade de massa em escoamento (energia disponível por kg de ar que passa) é aproximadamente 648{,}5\\ \text{kJ/kg}.

Passo 7

Monte mentalmente o diagrama T\!-\!s (descrição detalhada para que você saiba desenhar na prova):
  • Ponto 1: temperatura T_1 = 290\\ \text{K}, entropia arbitrária s_1.
  • Processo 1→2: compressão isentrópica — vertical para cima no diagrama T\!-\!s (mesma entropia s_2 = s_1), terminando em T_2 \approx 559{,}9\\ \text{K}.
  • Processo 2→3: aquecimento a pressão constante — curva para a direita (aumenta entropia), de T_2 até T_3 = 1900\\ \text{K}. A variação de entropia aqui é
\Delta s_{2\to3} = c_p \ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right).
Podemos calcular numericamente:
\Delta s_{2\to3} \approx 1{,}005\cdot\ln\!\left(\dfrac{1900}{559{,}9}\right) \approx 1{,}005\cdot 1{,}224 \approx 1{,}23\\ \text{kJ}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.
  • Processo 3→4: expansão isentrópica — vertical para baixo no diagrama (mesma entropia s_4 = s_3), terminando em T_4 \approx 984{,}7\\ \text{K}.
  • Processo 4→1: rejeição de calor a pressão constante — curva para a esquerda retornando a T_1, variação de entropia
\Delta s_{4\to1} = c_p \ln\!\left(\dfrac{T_1}{T_4}\right)\approx -1{,}23\\ \text{kJ}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1},
observando que a soma das variações de entropia do ciclo é zero (processo cíclico reversível).
Resumo para desenhar: dois ramos verticais (1→2 para cima, 3→4 para baixo) ligados por dois ramos curvos a pressão quase horizontal (2→3 subida para a direita, 4→1 descida para a esquerda). Marque T_1, T_2, T_3, T_4 nas alturas correspondentes.

Passo 8

Calcule a eficiência térmica do ciclo com a fórmula direta e mostre a relação com a razão de pressão:
  • Usando definição:
q_{in} = c_p (T_3 - T_2)\quad\Rightarrow\quad q_{in}\approx 1{,}005\cdot(1900 - 559{,}9)\approx 1346{,}8\\ \text{kJ/kg}.
  • Logo a eficiência:
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} \approx \frac{648{,}5}{1346{,}8}\approx 0{,}482\quad\text{ou}\quad 48{,}2\%.
  • Observação (fórmula padrão): para o ciclo Brayton ideal com compressão e expansão isentrópicas e c_p constante existe a expressão que depende somente de r_p:
\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Substituindo r_p=10 e \dfrac{\gamma-1}{\gamma}\approx 0{,}285714:
\eta = 1 - 10^{-0{,}285714}\approx 1 - 0{,}51799\approx 0{,}482\\ (48{,}2\%),
o que coincide com o cálculo anterior (pequenas diferenças numéricas são apenas por arredondamento).

Passo 9

Interpretação final rápida e incentivo (curto e prático):
  • Com a razão de pressão r_p=10 e limite de T_3=1900\\ \text{K}, o ciclo ideal fornece cerca de 648{,}5\\ \text{kJ} de trabalho líquido por kg de ar que passa e eficiência térmica ≈ 48{,}2\%.
  • Esses resultados são valores ideais (sem perdas irreversíveis, sem perdas mecânicas, sem eficiência de combustão menor que 1 etc.). Na vida real a potência útil será menor; para a prova foque em aplicar exatamente as fórmulas que usei.

Resposta

w_{net} \approx 648{,}5\\ \text{kJ/kg}
\eta \approx 48{,}2\%

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