Q11. Um avião, de 2,2 \times 10^{4} \mathrm{~N}, descreve um círculo vertical com velocidade de 320 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine (a) o raio do maior círculo possível. (b) A força exercida no avião, na parte inferior desse círculo. (c) o empuxo sobre o avião, na parte inferior desse círculo. R: 806 \mathrm{~m} ; 2,2 \times 10^{4} \mathrm{~N} ; 4,4 \times 10^{4} \mathrm{~N}.

Passo 1

O enunciado dá um avião cujo peso é 2{,}2\times10^{4}\,\text{N} (essa é a força peso, isto é mg) e que descreve um círculo vertical com velocidade 320\,\text{km/h}. Pede:
(a) o raio do maior círculo possível;
(b) a força exercida no avião na parte inferior desse círculo;
(c) o empuxo sobre o avião na parte inferior desse círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Peso do avião: W = 2{,}2\times10^{4}\,\text{N}.
  • Velocidade do avião: 320\,\text{km/h}.
  • Usarei g = 9{,}8\,\text{m/s}^2 para a aceleração da gravidade.
  • Interpreto “maior círculo possível” como a volta máxima tal que, no ponto mais alto, o avião esteja prestes a perder contato com a trajetória (a força normal lá é zero). É uma condição padrão para este tipo de problema.

Passo 2

Primeiro converto a velocidade para o SI (metros por segundo). A conversão é:
v = \frac{320\times10^{3}}{3600}\,\text{m/s} = \frac{320}{3{,}6}\,\text{m/s}.
Calculando numericamente:
v \approx 88{,}888\ldots\,\text{m/s}\approx 88{,}9\,\text{m/s}.
Explicação curta: 1\,\text{km}=1000\,\text{m} e 1\,\text{h}=3600\,\text{s}, por isso multiplicamos por 10^3 e dividimos por 3600.

Passo 3

Calculo a massa do avião a partir do peso fornecido. Lembra que peso é W=mg, então:
m=\frac{W}{g}=\frac{2{,}2\times10^{4}}{9{,}8}\,\text{kg}.
Fazendo a conta:
m\approx 2244{,}9\,\text{kg}.
Essa massa vamos usar se precisarmos, mas observe que muitas vezes ela cancela nas relações com W.

Passo 4

Agora a ideia física para (a): para o maior raio possível (isto é, o maior círculo que o avião pode fazer sem perder contato no topo), no ponto mais alto da volta a força normal N_{\text{top}} deve ser zero (o avião está “prestes a cair” do trilho imaginário). No topo, a aceleração centrípeta requerida a_c aponta para baixo (para o centro do círculo) e deve ser fornecida por mg + N_{\text{top}}. Com N_{\text{top}}=0 temos:
m\frac{v^2}{r}=mg.
Essa equação é o equilíbrio das forças na direção radial no ponto mais alto: o lado esquerdo é a força centrípeta necessária ( m v^2/r) e o lado direito é a força disponível (o peso mg) quando N_{\text{top}}=0.

Passo 5

Da equação do passo anterior isolamos o raio:
r=\frac{v^2}{g}.
Agora substituímos v e g. Usando v\approx 88{,}888\ldots\,\text{m/s} e g=9{,}8\,\text{m/s}^2,
r=\frac{(88{,}888\ldots)^2}{9{,}8}\approx 805{,}2\,\text{m}.
Arredondando de forma prática para o enunciado:
r\approx 806\,\text{m}.
Comentário didático: a fórmula r=v^2/g aqui surge porque, no topo com N=0, toda a aceleração centrípeta é provida pelo peso.

Passo 6

Para (b) vamos calcular a força centrípeta (a força resultante radial) que atua sobre o avião na parte inferior do círculo. A magnitude da força centrípeta necessária em qualquer ponto é
F_c=m\frac{v^2}{r}.
Mas do passo 4 vimos que, para o raio máximo escolhido, m\frac{v^2}{r}=mg. Portanto
F_c = mg = W = 2{,}2\times10^{4}\,\text{N}.
Interpretação: no fundo do círculo, a força neta dirigida para o centro (para cima, no fundo) tem a mesma magnitude que no topo; com o raio máximo ela vale exatamente o peso.

Passo 7

Para (c) precisamos do empuxo sobre o avião na parte inferior. Aqui entendo “empuxo” como a força de sustentação/normal que age sobre o avião (a força para cima que as superfícies aerodinâmicas/centro de força exercem) na parte inferior. No fundo do círculo, as forças verticais são: empuxo/normal E para cima e o peso mg para baixo; a resultante para cima deve ser a força centrípeta m v^2 / r. Assim:
E - mg = m\frac{v^2}{r}.
Isolando E:
E = mg + m\frac{v^2}{r}.
Mas de novo, para o raio máximo m\frac{v^2}{r}=mg. Então
E = mg + mg = 2mg = 2W.
Numericamente:
E = 2\times 2{,}2\times10^{4}\,\text{N} = 4{,}4\times10^{4}\,\text{N}.
Interpretação: na parte inferior, a sustentação/força de reação precisa ser o dobro do peso para fornecer a aceleração centrípeta para cima quando estamos no raio limite.

Resposta

806\,\text{m}
2{,}2\times10^{4}\,\text{N}
4{,}4\times10^{4}\,\text{N}

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