Q11. Um avião, de
, descreve um círculo vertical com velocidade de
. Determine (a) o raio do maior círculo possível. (b) A força exercida no avião, na parte inferior desse círculo. (c) o empuxo sobre o avião, na parte inferior desse círculo. R:
.
Passo 1
O enunciado dá um avião cujo peso é
(essa é a força peso, isto é
) e que descreve um círculo vertical com velocidade
. Pede:
(a) o raio do maior círculo possível;
(b) a força exercida no avião na parte inferior desse círculo;
(c) o empuxo sobre o avião na parte inferior desse círculo.
(a) o raio do maior círculo possível;
(b) a força exercida no avião na parte inferior desse círculo;
(c) o empuxo sobre o avião na parte inferior desse círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Peso do avião:
. - Velocidade do avião:
. - Usarei
para a aceleração da gravidade. - Interpreto “maior círculo possível” como a volta máxima tal que, no ponto mais alto, o avião esteja prestes a perder contato com a trajetória (a força normal lá é zero). É uma condição padrão para este tipo de problema.
Passo 2
Primeiro converto a velocidade para o SI (metros por segundo). A conversão é:
Calculando numericamente:
Explicação curta:
e
, por isso multiplicamos por
e dividimos por
.
Passo 3
Calculo a massa do avião a partir do peso fornecido. Lembra que peso é
, então:
Fazendo a conta:
Essa massa vamos usar se precisarmos, mas observe que muitas vezes ela cancela nas relações com
.
Passo 4
Agora a ideia física para (a): para o maior raio possível (isto é, o maior círculo que o avião pode fazer sem perder contato no topo), no ponto mais alto da volta a força normal
deve ser zero (o avião está “prestes a cair” do trilho imaginário). No topo, a aceleração centrípeta requerida
aponta para baixo (para o centro do círculo) e deve ser fornecida por
. Com
temos:
Essa equação é o equilíbrio das forças na direção radial no ponto mais alto: o lado esquerdo é a força centrípeta necessária (
) e o lado direito é a força disponível (o peso
) quando
.
Passo 5
Da equação do passo anterior isolamos o raio:
Agora substituímos
e
. Usando
e
,
Arredondando de forma prática para o enunciado:
Comentário didático: a fórmula
aqui surge porque, no topo com
, toda a aceleração centrípeta é provida pelo peso.
Passo 6
Para (b) vamos calcular a força centrípeta (a força resultante radial) que atua sobre o avião na parte inferior do círculo. A magnitude da força centrípeta necessária em qualquer ponto é
Mas do passo 4 vimos que, para o raio máximo escolhido,
. Portanto
Interpretação: no fundo do círculo, a força neta dirigida para o centro (para cima, no fundo) tem a mesma magnitude que no topo; com o raio máximo ela vale exatamente o peso.
Passo 7
Para (c) precisamos do empuxo sobre o avião na parte inferior. Aqui entendo “empuxo” como a força de sustentação/normal que age sobre o avião (a força para cima que as superfícies aerodinâmicas/centro de força exercem) na parte inferior. No fundo do círculo, as forças verticais são: empuxo/normal
para cima e o peso
para baixo; a resultante para cima deve ser a força centrípeta
. Assim:
Isolando
:
Mas de novo, para o raio máximo
. Então
Numericamente:
Interpretação: na parte inferior, a sustentação/força de reação precisa ser o dobro do peso para fornecer a aceleração centrípeta para cima quando estamos no raio limite.