Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(-4,-1,5)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,-5,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{3}:
  • H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(-4,-1,5)\}.
  • M=\operatorname{span}\{(2,-5,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=\left(-3,x_{2},x_{3}\right).
A pergunta específica deste item é: qual é o valor de x_{3}? (escolha entre as alternativas dadas).

Passo 2

Primeiro, escrever de forma geral um vetor qualquer de H. Se chamarmos
\vec{u}=(3,1,-3),\qquad \vec{v}=(-4,-1,5),
então todo vetor \vec{x}\in H pode ser escrito como combinação linear
\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v},
onde a,b\in\mathbb{R}. Vou expressar as componentes: substituindo \vec{u} e \vec{v},
\vec{x}=(3a-4b,\; a-b,\; -3a+5b).

Passo 3

Agora a condição \vec{x}=\left(-3,x_{2},x_{3}\right) impõe a primeira componente:
3a-4b=-3.
Essa é a primeira equação que relaciona a e b.

Passo 4

A condição \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a todo vetor de M. Como M é gerado por \vec{w}=(2,-5,1), basta exigir \vec{x}\cdot\vec{w}=0. Lembrete rápido (produto escalar): para \vec{p}=(p_{1},p_{2},p_{3}) e \vec{q}=(q_{1},q_{2},q_{3}) tem-se
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}.
Aplicando ao nosso caso, com \vec{x}=(3a-4b,\;a-b,\;-3a+5b) e \vec{w}=(2,-5,1), a condição \vec{x}\cdot\vec{w}=0
2(3a-4b)-5(a-b)+1(-3a+5b)=0.

Passo 5

Calcular passo a passo a expressão do produto escalar:
2(3a-4b)=6a-8b,
-5(a-b)=-5a+5b,
1(-3a+5b)=-3a+5b.
Somando:
(6a-8b)+(-5a+5b)+(-3a+5b)=6a-5a-3a +(-8b+5b+5b) = (-2a)+(2b).
Portanto a equação da ortogonalidade reduz-se a
-2a+2b=0.

Passo 6

Simplificando -2a+2b=0 obtemos
b=a.

Passo 7

Voltar à equação obtida no Passo 3, usando b=a:
3a-4b=3a-4a=-a=-3.
Logo
a=3,
e portanto
b=3.

Passo 8

Agora calcular as componentes restantes de \vec{x} usando a=b=3. Lembrando que
x_{2}=a-b,\qquad x_{3}=-3a+5b,
temos
x_{2}=3-3=0,
x_{3}=-3\cdot 3 + 5\cdot 3 = -9 + 15 = 6.

Passo 9

Para segurança, verificar a ortogonalidade: \vec{x}=(-3,0,6) e \vec{w}=(2,-5,1),
\vec{x}\cdot\vec{w}=2(-3)+(-5)\cdot 0 + 1\cdot 6 = -6 + 0 + 6 = 0,
confirmando que \vec{x}\in M^{\perp}. Também \vec{x} é combinação linear dos geradores de H (já expressa por a=b=3), então \vec{x}\in H. Assim existe um único vetor com a forma pedida e ele é \vec{x}=(-3,0,6).

Resposta

(C) 6

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