Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes subespaços de
:
-
. -
.
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
.
A pergunta específica deste item é: qual é o valor de ? (escolha entre as alternativas dadas).
A pergunta específica deste item é: qual é o valor de
Passo 2
Primeiro, escrever de forma geral um vetor qualquer de
. Se chamarmos
então todo vetor
pode ser escrito como combinação linear
onde
. Vou expressar as componentes: substituindo
e
,
Passo 3
Agora a condição
impõe a primeira componente:
Essa é a primeira equação que relaciona
e
.
Passo 4
A condição
significa que
é ortogonal a todo vetor de
. Como
é gerado por
, basta exigir
. Lembrete rápido (produto escalar): para
e
tem-se
Aplicando ao nosso caso, com
e
, a condição
dá
Passo 5
Calcular passo a passo a expressão do produto escalar:
Somando:
Portanto a equação da ortogonalidade reduz-se a
Passo 6
Simplificando
obtemos
Passo 7
Voltar à equação obtida no Passo 3, usando
:
Logo
e portanto
Passo 8
Agora calcular as componentes restantes de
usando
. Lembrando que
temos
Passo 9
Para segurança, verificar a ortogonalidade:
e
,
confirmando que
. Também
é combinação linear dos geradores de
(já expressa por
), então
. Assim existe um único vetor com a forma pedida e ele é
.
Resposta
(C)