Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -7 \\\\ -5 \\\\ -2 \\\\ 5 \\\\ 7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 5 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-3,6,-15,22,3).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado fornece uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada pelos vetores (peguei estes vetores do enunciado):
b_1=\begin{bmatrix}-3\\\ -1\\\ 2\\\ -3\\\ -1\end{bmatrix},\\ b_2=\begin{bmatrix}-1\\\ 3\\\ 2\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix},\\ b_3=\begin{bmatrix}-7\\\ -5\\\ -2\\\ 5\\\ 7\end{bmatrix},\\ b_4=\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 2\\\ -3\\\ 5\end{bmatrix},\\ b_5=\begin{bmatrix}-1\\\ 2\\\ -3\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix}.
E dá o vetor
\vec{v}=\begin{bmatrix}-3\\\ 6\\\ -15\\\ 22\\\ 3\end{bmatrix}.
O que se pede: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta; calcular a entrada x_1 (ou seja, o coeficiente correspondente a b_1).
Informações relevantes: a base é ortogonal (os vetores são mutuamente ortogonais, mas não necessariamente unitários).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): se \beta=\{b_1,\dots,b_n\} é uma base ortogonal e se escrevemos
\vec{v}=x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_n b_n,
então, tomando produto interno com b_j e usando ortogonalidade ( b_i\cdot b_j=0 para i\neq j), obtemos
\vec{v}\cdot b_j = x_j (b_j\cdot b_j).
Assim o coeficiente x_j é dado por
x_j=\frac{\vec{v}\cdot b_j}{b_j\cdot b_j}.
Explicando em palavras: x_j é a projeção de \vec{v} sobre b_j dividida pela norma ao quadrado de b_j. Não é preciso resolver um sistema linear porque a ortogonalidade “separa” os coeficientes.

Passo 3

Calcular o produto interno \vec{v}\cdot b_1. Multiplicar componente a componente e somar:
\begin{aligned} \vec{v}\cdot b_1 &= (-3)(-3) + 6(-1) + (-15)(2) + 22(-3) + 3(-1)\\\ &= 9 - 6 - 30 - 66 - 3. \end{aligned}
Agora somando passo a passo:
9 - 6 = 3,\quad 3 - 30 = -27,\quad -27 - 66 = -93,\quad -93 - 3 = -96.
Logo
\vec{v}\cdot b_1 = -96.

Passo 4

Calcular b_1\cdot b_1 (norma ao quadrado de b_1):
b_1\cdot b_1 = (-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 + 4 + 9 + 1.
Somando:
9+1=10,\quad 10+4=14,\quad 14+9=23,\quad 23+1=24.
Logo
b_1\cdot b_1 = 24.

Passo 5

Aplicar a fórmula x_1=\dfrac{\vec{v}\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}:
x_1=\frac{-96}{24} = -4.

Passo 6

Verificação rápida: -4 é uma das alternativas listadas; corresponde à alternativa (A). Força — você já tem a resposta e o raciocínio geral para coeficientes em bases ortogonais!

Resposta

(A) -4

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