e o vetor \vec{v}=(-3,6,-15,22,3).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado fornece uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada pelos vetores (peguei estes vetores do enunciado):
O que se pede: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta; calcular a entrada x_1 (ou seja, o coeficiente correspondente a b_1).
Informações relevantes: a base é ortogonal (os vetores são mutuamente ortogonais, mas não necessariamente unitários).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): se \beta=\{b_1,\dots,b_n\} é uma base ortogonal e se escrevemos
\vec{v}=x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_n b_n,
então, tomando produto interno com b_j e usando ortogonalidade (b_i\cdot b_j=0 para i\neq j), obtemos
\vec{v}\cdot b_j = x_j (b_j\cdot b_j).
Assim o coeficiente x_j é dado por
x_j=\frac{\vec{v}\cdot b_j}{b_j\cdot b_j}.
Explicando em palavras: x_j é a projeção de \vec{v} sobre b_j dividida pela norma ao quadrado de b_j. Não é preciso resolver um sistema linear porque a ortogonalidade “separa” os coeficientes.
Passo 3
Calcular o produto interno \vec{v}\cdot b_1. Multiplicar componente a componente e somar:
Aplicar a fórmula x_1=\dfrac{\vec{v}\cdot b_1}{b_1\cdot b_1}:
x_1=\frac{-96}{24} = -4.
Passo 6
Verificação rápida: -4 é uma das alternativas listadas; corresponde à alternativa (A). Força — você já tem a resposta e o raciocínio geral para coeficientes em bases ortogonais!