Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -7 & -13 \\\\ 1 & -6 & -9 & -11 \\\\ -2 & -2 & -4 & -11 \\\\ -1 & 6 & -1 & 3 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{1}, a 1{ }^{\text {a }} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A\vec{x}=\vec{b} cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -7 & -13 \\\\ 1 & -6 & -9 & -11 \\\\ -2 & -2 & -4 & -11 \\\\ -1 & 6 & -1 & 3 \end{array}\right].
Pergunta específica: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada da solução \vec{x}?
Informações dadas (peguei os números da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -7\\[2pt] 1 & -6 & -9\\[2pt] -2 & -2 & -4\\[2pt] -1 & 6 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-13\\[2pt]-11\\[2pt]-11\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” (explicação didática e curta): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado (mais equações que incógnitas), pode não existir \vec{x} que satisfaça todas as equações exatamente. A solução por mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos)
\|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
Um procedimento padrão para encontrar essa \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b},
que vêm da condição de otimalidade (derivada da função quadrática de erro). Vou usar exatamente isso.

Passo 3

Vou calcular A^{T}A. Para facilitar, extraio as colunas de A (peguei os valores da matriz A escrita acima):
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-6\\[2pt]-2\\[2pt]6\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3=\begin{pmatrix}-7\\[2pt]-9\\[2pt]-4\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Os elementos de A^{T}A são produtos internos entre essas colunas, isto é (A^{T}A)_{ij}=\text{col}_i\cdot\text{col}_j.]

Passo 4

Calculo dos produtos internos (mostrando as contas passo a passo):
(A^{T}A)_{11}=\text{col}_1\cdot\text{col}_1 = (-1)^2+1^2+(-2)^2+(-1)^2=1+1+4+1=7.
(A^{T}A)_{12}=\text{col}_1\cdot\text{col}_2 = (-1)(-1)+1(-6)+(-2)(-2)+(-1)(6)=1-6+4-6=-7.
(A^{T}A)_{13}=\text{col}_1\cdot\text{col}_3 = (-1)(-7)+1(-9)+(-2)(-4)+(-1)(-1)=7-9+8+1=7.
(A^{T}A)_{22}=\text{col}_2\cdot\text{col}_2 = (-1)^2+(-6)^2+(-2)^2+6^2=1+36+4+36=77.
(A^{T}A)_{23}=\text{col}_2\cdot\text{col}_3 = (-1)(-7)+(-6)(-9)+(-2)(-4)+6(-1)=7+54+8-6=63.
(A^{T}A)_{33}=\text{col}_3\cdot\text{col}_3 = (-7)^2+(-9)^2+(-4)^2+(-1)^2=49+81+16+1=147.
Como A^{T}A é simétrica, completo a matriz:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 7 & -7 & 7\\[4pt] -7 & 77 & 63\\[4pt] 7 & 63 & 147 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculo A^{T}\vec{b} (também usando os vetores coluna que tirei de A e \vec{b} da matriz aumentada):
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix} \text{col}_1\cdot\vec{b}\\[4pt] \text{col}_2\cdot\vec{b}\\[4pt] \text{col}_3\cdot\vec{b} \end{pmatrix}.
Cálculos:
\text{col}_1\cdot\vec{b}=(-1)(-13)+1(-11)+(-2)(-11)+(-1)(3)=13-11+22-3=21.
\text{col}_2\cdot\vec{b}=(-1)(-13)+(-6)(-11)+(-2)(-11)+6(3)=13+66+22+18=119.
\text{col}_3\cdot\vec{b}=(-7)(-13)+(-9)(-11)+(-4)(-11)+(-1)(3)=91+99+44-3=231.
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}21\\[2pt]119\\[2pt]231\end{pmatrix}.]

Passo 6

As equações normais ficam:
\begin{pmatrix} 7 & -7 & 7\\[4pt] -7 & 77 & 63\\[4pt] 7 & 63 & 147 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}21\\[2pt]119\\[2pt]231\end{pmatrix}.
Vou resolver esse sistema linear. Primeira equação (dividindo por 7 para simplificar):
x_1 - x_2 + x_3 = 3. \tag{1}]

Passo 7

Usando (1) expresso x_1 em termos de x_2,x_3:
x_1 = 3 + x_2 - x_3.
Substituo essa expressão nas equações 2 e 3 das normais para eliminar x_1.
Equação 2 original:
-7x_1 +77x_2 +63x_3 =119.
Substituindo x_1:
-7(3+x_2-x_3)+77x_2+63x_3=119.
Fazendo as contas:
-21 -7x_2 +7x_3 +77x_2 +63x_3 =119
-21 +70x_2 +70x_3 =119
70x_2 +70x_3 =140
x_2 + x_3 =2. \tag{2}

Passo 8

Equação 3 original:
7x_1 +63x_2 +147x_3 =231.
Substituindo x_1:
7(3+x_2-x_3)+63x_2+147x_3=231.
Fazendo as contas:
21 +7x_2 -7x_3 +63x_2 +147x_3 =231
21 +70x_2 +140x_3 =231
70x_2 +140x_3 =210
x_2 +2x_3 =3. \tag{3}

Passo 9

Resolvo o sistema reduzido formado por (2)\) e \((3)\): \[\begin{cases} x_2 + x_3 = 2,\\[4pt] x_2 + 2x_3 = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se x_3=1\]. Então \(x_2 = 2 - x_3 = 1.
Agora volto à expressão para x_1:
x_1 = 3 + x_2 - x_3 = 3 + 1 - 1 = 3.]

Passo 10

Resumo final: a solução por mínimos quadrados encontrada é \vec{x}=(3,1,1)^{T}. Em especial, a primeira entrada é x_{1}=3. Vai dar certo na prova — foco e confiança!

Resposta

3

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