O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados” (explicação didática e curta): quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} é sobredeterminado (mais equações que incógnitas), pode não existir \vec{x} que satisfaça todas as equações exatamente. A solução por mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos)
\|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
Um procedimento padrão para encontrar essa \vec{x} é resolver as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b},
que vêm da condição de otimalidade (derivada da função quadrática de erro). Vou usar exatamente isso.
Passo 3
Vou calcular A^{T}A. Para facilitar, extraio as colunas de A (peguei os valores da matriz A escrita acima):
Vou resolver esse sistema linear. Primeira equação (dividindo por 7 para simplificar):
x_1 - x_2 + x_3 = 3. \tag{1}]
Passo 7
Usando (1) expresso x_1 em termos de x_2,x_3:
x_1 = 3 + x_2 - x_3.
Substituo essa expressão nas equações 2 e 3 das normais para eliminar x_1.
Equação 2 original:
-7x_1 +77x_2 +63x_3 =119.
Substituindo x_1:
-7(3+x_2-x_3)+77x_2+63x_3=119.
Fazendo as contas:
-21 -7x_2 +7x_3 +77x_2 +63x_3 =119
-21 +70x_2 +70x_3 =119
70x_2 +70x_3 =140
x_2 + x_3 =2. \tag{2}
Passo 8
Equação 3 original:
7x_1 +63x_2 +147x_3 =231.
Substituindo x_1:
7(3+x_2-x_3)+63x_2+147x_3=231.
Fazendo as contas:
21 +7x_2 -7x_3 +63x_2 +147x_3 =231
21 +70x_2 +140x_3 =231
70x_2 +140x_3 =210
x_2 +2x_3 =3. \tag{3}
Passo 9
Resolvo o sistema reduzido formado por (2)\) e \((3)\):
\[\begin{cases} x_2 + x_3 = 2,\\[4pt] x_2 + 2x_3 = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se x_3=1\]. Então \(x_2 = 2 - x_3 = 1.
Agora volto à expressão para x_1:
x_1 = 3 + x_2 - x_3 = 3 + 1 - 1 = 3.]
Passo 10
Resumo final: a solução por mínimos quadrados encontrada é \vec{x}=(3,1,1)^{T}. Em especial, a primeira entrada é x_{1}=3. Vai dar certo na prova — foco e confiança!