Dado o sistema
seja C a circunferência de centro O e o raio
. Mostre que C , em qualquer sistema obtido por rotação de
tem equação
Passo 1
O enunciado dá uma circunferência
de centro
e raio
no plano com um sistema de coordenadas
. Pede-se para mostrar que, em qualquer sistema de coordenadas obtido por rotação de
(vou chamar esse novo sistema de
), a equação de
fica
Informações relevantes que temos:
- A circunferência
é centrada em (a origem) e tem raio . - Existe um sistema
obtido a partir de por rotação de algum ângulo (qualquer ). - Queremos mostrar que, escritos em coordenadas
desse sistema rotacionado, os pontos de obedecem .
Passo 2
Vamos escrever a relação entre as coordenadas
no sistema original
e as coordenadas
no sistema rotacionado
. Se o novo sistema foi obtido por rotação de ângulo
(no sentido anti-horário, por exemplo), então as coordenadas de um mesmo ponto satisfazem
e
Explicação didática rápida: essas fórmulas vêm de decompor o vetor posição do ponto nas componentes ao longo dos eixos rotacionados, usando as projeções trigonométricas (seno e cosseno) das novas direções sobre as direções antigas. Não precisa decorar sem entender: imagine projetar o segmento que vai da origem ao ponto sobre as direções dos eixos originais; os fatores
e
aparecem exatamente por isso.
Passo 3
A circunferência centrada na origem tem, no sistema original, a equação
Substituímos
e
pelas expressões em função de
e
do passo anterior. Primeiro calculemos
em termos de
e
:
Passo 4
Agora expandimos os quadrados cuidadosamente. Desenvolvendo o primeiro termo:
Desenvolvendo o segundo termo:
Passo 5
Agora somamos as duas expansões termo a termo. Observe que os termos cruzados em
se cancelam:
Somando os termos em
e em
obtemos:
Passo 6
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental
. Assim
Portanto a soma dos quadrados das coordenadas é invariante pela rotação: a distância ao quadrado em relação à origem não muda quando mudamos para um sistema rotacionado.
Passo 7
Voltando à equação da circunferência no sistema original,
, e substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
Isso vale para qualquer ângulo
de rotação, ou seja, para qualquer sistema obtido por rotação de
.