Dado o sistema X Y seja C a circunferência de centro O e o raio \mathrm{r}>0. Mostre que C , em qualquer sistema obtido por rotação de X Y tem equação \mathrm{x}^{\prime 2}+\mathrm{y}^{\prime 2}=\mathrm{r}^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência C de centro O e raio r>0 no plano com um sistema de coordenadas XY. Pede-se para mostrar que, em qualquer sistema de coordenadas obtido por rotação de XY (vou chamar esse novo sistema de X'Y'), a equação de C fica
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=r^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A circunferência C é centrada em O (a origem) e tem raio r.
  • Existe um sistema X'Y' obtido a partir de XY por rotação de algum ângulo \theta (qualquer \theta).
  • Queremos mostrar que, escritos em coordenadas (x',y') desse sistema rotacionado, os pontos de C obedecem \;x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=r^{2}.

Passo 2

Vamos escrever a relação entre as coordenadas (x,y) no sistema original XY e as coordenadas (x',y') no sistema rotacionado X'Y'. Se o novo sistema foi obtido por rotação de ângulo \theta (no sentido anti-horário, por exemplo), então as coordenadas de um mesmo ponto satisfazem
x = x'\cos\theta - y'\sin\theta
e
y = x'\sin\theta + y'\cos\theta.
Explicação didática rápida: essas fórmulas vêm de decompor o vetor posição do ponto nas componentes ao longo dos eixos rotacionados, usando as projeções trigonométricas (seno e cosseno) das novas direções sobre as direções antigas. Não precisa decorar sem entender: imagine projetar o segmento que vai da origem ao ponto sobre as direções dos eixos originais; os fatores \cos\theta e \sin\theta aparecem exatamente por isso.

Passo 3

A circunferência centrada na origem tem, no sistema original, a equação
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Substituímos x e y pelas expressões em função de x' e y' do passo anterior. Primeiro calculemos x^{2}+y^{2} em termos de x' e y':
x^{2}+y^{2}=(x'\cos\theta - y'\sin\theta)^{2}+(x'\sin\theta + y'\cos\theta)^{2}.

Passo 4

Agora expandimos os quadrados cuidadosamente. Desenvolvendo o primeiro termo:
(x'\cos\theta - y'\sin\theta)^{2}=x'^{2}\cos^{2}\theta -2x'y'\cos\theta\sin\theta + y'^{2}\sin^{2}\theta.
Desenvolvendo o segundo termo:
(x'\sin\theta + y'\cos\theta)^{2}=x'^{2}\sin^{2}\theta + 2x'y'\sin\theta\cos\theta + y'^{2}\cos^{2}\theta.

Passo 5

Agora somamos as duas expansões termo a termo. Observe que os termos cruzados em x'y' se cancelam:
-2x'y'\cos\theta\sin\theta + 2x'y'\sin\theta\cos\theta = 0.
Somando os termos em x'^{2} e em y'^{2} obtemos:
x^{2}+y^{2}=x'^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+y'^{2}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta).

Passo 6

Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Assim
x^{2}+y^{2}=x'^{2}\cdot 1 + y'^{2}\cdot 1 = x'^{2}+y'^{2}.
Portanto a soma dos quadrados das coordenadas é invariante pela rotação: a distância ao quadrado em relação à origem não muda quando mudamos para um sistema rotacionado.

Passo 7

Voltando à equação da circunferência no sistema original, \;x^{2}+y^{2}=r^{2}, e substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
x'^{2}+y'^{2}=r^{2}.
Isso vale para qualquer ângulo \theta de rotação, ou seja, para qualquer sistema obtido por rotação de XY.

Resposta

x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=r^{2}

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