Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ 6 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 8 \\\\ -4 \\\\ -3 \\\\ 4 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -1 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-10,12,-2,-28,2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{2} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a entrada x_{2} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} relativamente à base ortogonal \beta. Informações relevantes dadas:
\vec{v}=(-10,12,-2,-28,2)
O segundo vetor da base (que vamos chamar de \vec{b}_{2}) é
\vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}8\\\ -4\\\ -3\\\ 4\\\ 3\end{pmatrix}
A base \beta é ortogonal (isto é mandatório para usar a dica). O enunciado diz que não é necessário resolver um sistema linear.

Passo 2

Propriedade útil (explicada passo a passo): se \{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_n\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^n e
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+\cdots+x_n\vec{b}_n,
então, tomando produto interno (produto escalar) com \vec{b}_k obtemos
\vec{v}\cdot\vec{b}_k = x_1(\vec{b}_1\cdot\vec{b}_k)+\cdots+x_n(\vec{b}_n\cdot\vec{b}_k).
Como a base é ortogonal, \vec{b}_i\cdot\vec{b}_k=0 sempre que i\neq k. Logo só sobra o termo i=k, isto é
\vec{v}\cdot\vec{b}_k = x_k(\vec{b}_k\cdot\vec{b}_k).
Isolando x_k obtemos a fórmula prática:
x_k=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_k}{\vec{b}_k\cdot\vec{b}_k}.
Aqui \vec{u}\cdot\vec{w} significa o produto escalar usual em coordenadas: se \vec{u}=(u_1,\dots,u_n) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_n), então
\vec{u}\cdot\vec{w}=u_1w_1+\cdots+u_nw_n.

Passo 3

Aplicamos a fórmula para k=2. Primeiro calculamos o numerador \vec{v}\cdot\vec{b}_2. Fazendo a multiplicação termo a termo:
\vec{v}\cdot\vec{b}_2 = (-10)\cdot 8 + 12\cdot(-4) + (-2)\cdot(-3) + (-28)\cdot 4 + 2\cdot 3.
Calculando cada produto:
(-10)\cdot 8 = -80,\quad 12\cdot(-4)=-48,\quad (-2)\cdot(-3)=6,\quad (-28)\cdot 4=-112,\quad 2\cdot 3=6.
Somando esses valores:
\vec{v}\cdot\vec{b}_2 = -80 + (-48) + 6 + (-112) + 6 = -228.

Passo 4

Agora calculamos o denominador \vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 (que é o quadrado da norma de \vec{b}_2):
\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 = 8^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + 4^2 + 3^2.
Calculando cada termo:
8^2=64,\quad (-4)^2=16,\quad (-3)^2=9,\quad 4^2=16,\quad 3^2=9.
Somando:
\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2 = 64+16+9+16+9 = 114.

Passo 5

Usando a fórmula
x_2=\frac{\vec{v}\cdot\vec{b}_2}{\vec{b}_2\cdot\vec{b}_2}=\frac{-228}{114}=-2.

Resposta

\,x_{2}=-2

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