Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}-3 x+3 na reta gerada por q(x)=x-1.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^{2}-3 x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de x-1 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 3-3 x
(B) \frac{5}{2}-\frac{5 x}{2}
(C) \frac{13}{4}-\frac{13 x}{4}
(D) -3 x^{2}+9 x-9
(E) -\frac{5 x^{2}}{2}+\frac{15 x}{2}-\frac{15}{2}
(F) -\frac{11 x^{2}}{4}+\frac{33 x}{4}-\frac{33}{4}
(G) -\frac{13 x^{2}}{4}+\frac{39 x}{4}-\frac{39}{4}
(H) \frac{11}{4}-\frac{11 x}{4}

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}-3x+3 na reta gerada por q(x)=x-1 no espaço \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
p(x)=x^{2}-3x+3,\qquad q(x)=x-1,\qquad \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
A tarefa é encontrar o polinômio da forma \alpha\,q(x) que é a projeção ortogonal de p sobre a reta \operatorname{span}\{q\}.

Passo 2

Fórmula da projeção ortogonal em uma reta gerada por q: se queremos projetar p na reta \{\alpha q:\alpha\in\mathbb{R}\}, procuramos \alpha tal que p-\alpha q seja ortogonal a q. Isso significa
\langle p-\alpha q,\,q\rangle=0.
Distribuindo o produto interno obtemos
\langle p,q\rangle-\alpha\langle q,q\rangle=0,
logo
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Aqui \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle são integrais no intervalo [0,1] conforme o produto interno dado. A projeção é então \operatorname{proj}_{\langle q\rangle}p=\alpha q.

Passo 3

Calculamos \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro expandimos o produto:
p(x)q(x)=(x^{2}-3x+3)(x-1)=x^{3}-4x^{2}+6x-3.
Agora integramos termo a termo:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} (x^{3}-4x^{2}+6x-3)\,dx =\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{4x^{3}}{3}+3x^{2}-3x\right]_{0}^{1}.
Avaliação em 1 e 0:
\langle p,q\rangle=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+3-3=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}=\frac{3-16}{12}=-\frac{13}{12}.

Passo 4

Calculamos \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (x-1)^{2}\,dx. Expandindo:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
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\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (x^{2}-2x+1)\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x\right]_{0}^{1}.
Avaliação em 1 e 0:
\langle q,q\rangle=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}.

Passo 5

Calculamos o coeficiente \alpha:
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} =\frac{-\frac{13}{12}}{\frac{1}{3}}=-\frac{13}{12}\cdot 3=-\frac{13}{4}.
Logo a projeção ortogonal é
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle}p(x)=\alpha q(x)=-\frac{13}{4}(x-1)=\frac{13}{4}-\frac{13}{4}x.

Passo 6

Interpretação rápida (útil para a prova): a projeção encontrada é o múltiplo de q que minimiza a norma \|p-\beta q\| induzida pelo produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Em palavras, entre todos os polinômios do tipo \beta(x-1) no intervalo [0,1], \frac{13}{4}-\frac{13}{4}x é o que fica mais perto de p(x) em média quadrática.

Resposta

(C) \frac{13}{4}-\frac{13 x}{4}

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