Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de
na reta gerada por
no espaço
com o produto interno
Informações relevantes dadas:
A tarefa é encontrar o polinômio da forma
que é a projeção ortogonal de
sobre a reta
.
Passo 2
Fórmula da projeção ortogonal em uma reta gerada por
: se queremos projetar
na reta
, procuramos
tal que
seja ortogonal a
. Isso significa
Distribuindo o produto interno obtemos
logo
Aqui
e
são integrais no intervalo
conforme o produto interno dado. A projeção é então
.
Passo 3
Calculamos
. Primeiro expandimos o produto:
Agora integramos termo a termo:
Avaliação em
e
:
Passo 4
Calculamos
. Expandindo:
logo
Avaliação em
e
:
Passo 5
Calculamos o coeficiente
:
Logo a projeção ortogonal é
Passo 6
Interpretação rápida (útil para a prova): a projeção encontrada é o múltiplo de
que minimiza a norma
induzida pelo produto interno
. Em palavras, entre todos os polinômios do tipo
no intervalo
,
é o que fica mais perto de
em média quadrática.
Resposta
(C)