Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 x+3\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras ou falsas entre elas. As afirmativas são:
I - O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=3x+3\right\} não é subespaço vetorial.
O que preciso determinar: para cada uma das afirmativas dizer se é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre (A) a (G).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (de forma clara e bem prática) o que é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Uma parte W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço se e somente se satisfaz estas três propriedades (equivalentes e fáceis de testar na prova):
  1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  2. W é fechada sob soma: se \vec{a}\in W e \vec{b}\in W então \vec{a}+\vec{b}\in W.
  3. W é fechada sob multiplicação escalar: se \vec{a}\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\vec{a}\in W.
Um jeito rápido na prova: costuma-se checar se \overrightarrow{0}\in W e se W é fechado sob combinações lineares (ou sob soma e multiplicação escalar). Se alguma falha, não é subespaço.

Passo 3

Agora vamos analisar a afirmativa I com calma e provar o que é preciso.
Definição do complemento ortogonal: para um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n definimos
S^\perp=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot\vec{s}=0\\ \text{para todo}\\ \vec{s}\in S\}.
Esse conjunto S^\perp é sempre um subespaço de \mathbb{R}^n. Vou provar isso passo a passo (fácil e direto — ótimo para a prova):
  1. \overrightarrow{0}\in S^\perp porque \overrightarrow{0}\cdot\vec{s}=0 para todo \vec{s}.
  2. Se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^\perp então, para qualquer \vec{s}\in S,
(\vec{w}_1+\vec{w}_2)\cdot\vec{s}=\vec{w}_1\cdot\vec{s}+\vec{w}_2\cdot\vec{s}=0+0=0,
logo \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^\perp.
3. Se \vec{w}\in S^\perp e \lambda\in\mathbb{R} então, para qualquer \vec{s}\in S,
(\lambda\vec{w})\cdot\vec{s}=\lambda(\vec{w}\cdot\vec{s})=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda\vec{w}\in S^\perp.
Portanto S^\perp é subespaço para qualquer S.
Aplicando ao caso da afirmativa I: S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é um subconjunto de \mathbb{R}^n (um subespaço gerado por \vec{u} e \vec{v}). O complemento ortogonal S^\perp é, pelo argumento acima, um subespaço, independentemente de \{\vec{u},\vec{v}\} ser linearmente dependente ou não. A linearidade (dependência) das geradoras não impede que o complementar ortogonal seja subespaço — o resultado vale sempre.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II. O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é justamente o núcleo (nullspace) da matriz A, que chamamos de
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Mostro que \ker(A) é subespaço:
  1. A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
  2. Se A\vec{x}_1=\overrightarrow{0} e A\vec{x}_2=\overrightarrow{0}, então por linearidade
A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1+A\vec{x}_2=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
então \vec{x}_1+\vec{x}_2\in\ker(A).
3. Se A\vec{x}=\overrightarrow{0} e \lambda\in\mathbb{R}, então
A(\lambda\vec{x})=\lambda A\vec{x}=\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo \lambda\vec{x}\in\ker(A).
Portanto o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço. A afirmativa II diz que esse conjunto não é subespaço — isso é falso.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa III. Seja
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=3x+3\}.
Vou verificar se S é subespaço. O teste mais rápido: verificar se \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence a S.
Se (0,0,0)\in S então deveria satisfazer 0 = 3\cdot 0 + 3, isto é 0=3, o que é falso. Logo \overrightarrow{0}\notin S. Assim S não é subespaço.
Outra forma de ver (exemplo prático útil na prova): pegue \vec{v}=(1,6,0). Note que 6=3\cdot 1+3 então \vec{v}\in S. Mas 0\cdot\vec{v}=\overrightarrow{0} e \overrightarrow{0}\notin S, logo S não é fechado sob multiplicação escalar. Mesmo resultado: não é subespaço.
A afirmativa III afirma que S não é subespaço — isso é verdadeiro.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das veredictos:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são exatamente I e III.

Resposta

(F) Só I e III são verdadeiras.

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