Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O complemento ortogonal de span
LD, é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
I - O complemento ortogonal de span
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras ou falsas entre elas. As afirmativas são:
I - O complemento ortogonal de
, com
linearmente dependente, é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
O que preciso determinar: para cada uma das afirmativas dizer se é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (de forma clara e bem prática) o que é um subespaço vetorial de
. Uma parte
é subespaço se e somente se satisfaz estas três propriedades (equivalentes e fáceis de testar na prova):
-
contém o vetor nulo . -
é fechada sob soma: se e então . -
é fechada sob multiplicação escalar: se e então .
Um jeito rápido na prova: costuma-se checar se
e se
é fechado sob combinações lineares (ou sob soma e multiplicação escalar). Se alguma falha, não é subespaço.
Passo 3
Agora vamos analisar a afirmativa I com calma e provar o que é preciso.
Definição do complemento ortogonal: para um subconjunto
definimos
Esse conjunto
é sempre um subespaço de
. Vou provar isso passo a passo (fácil e direto — ótimo para a prova):
-
porque para todo . - Se
então, para qualquer ,
logo
.
3. Se e
então, para qualquer
,
3. Se
logo
.
Portanto
é subespaço para qualquer
.
Aplicando ao caso da afirmativa I:
é um subconjunto de
(um subespaço gerado por
e
). O complemento ortogonal
é, pelo argumento acima, um subespaço, independentemente de
ser linearmente dependente ou não. A linearidade (dependência) das geradoras não impede que o complementar ortogonal seja subespaço — o resultado vale sempre.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II. O conjunto solução do sistema homogêneo
é justamente o núcleo (nullspace) da matriz
, que chamamos de
Mostro que
é subespaço:
-
, logo . - Se
e , então por linearidade
então
.
3. Se e
, então
3. Se
logo
.
Portanto o conjunto solução de
é um subespaço. A afirmativa II diz que esse conjunto não é subespaço — isso é falso.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa III. Seja
Vou verificar se
é subespaço. O teste mais rápido: verificar se
pertence a
.
Se
então deveria satisfazer
, isto é
, o que é falso. Logo
. Assim
não é subespaço.
Outra forma de ver (exemplo prático útil na prova): pegue
. Note que
então
. Mas
e
, logo
não é fechado sob multiplicação escalar. Mesmo resultado: não é subespaço.
A afirmativa III afirma que
não é subespaço — isso é verdadeiro.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das veredictos:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são exatamente I e III.
Resposta
(F) Só I e III são verdadeiras.