Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{l} 7 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 8 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -4 \\\\ 9 \\\\ -3 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(31,3,-6,2,25).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma base ortogonal de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3},\vec{b}_{4},\vec{b}_{5}\right\},
com
\vec{b}_{1}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]1\\[4pt]5\\[4pt]8\\[4pt]8\end{pmatrix},\quad \vec{b}_{2}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-4\\[4pt]-1\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad \vec{b}_{3}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix},
\vec{b}_{4}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\\[4pt]9\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix},\quad \vec{b}_{5}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
  • O vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}31\\[4pt]3\\[4pt]-6\\[4pt]2\\[4pt]25\end{pmatrix}.
  • Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. O enunciado pede a entrada x_{3} (a terceira coordenada).
    Observação importante dada: a base é ortogonal (os vetores da base são mutuamente ortogonais). Não se pede para resolver sistemas lineares.]

Passo 2

Explicação didática do método (por que não é necessário resolver sistema):
  • Se uma base \beta é ortogonal, então podemos escrever
\vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\,\vec{b}_{i}.
  • Tomando o produto interno (produto escalar) com \vec{b}_{j} em ambos os lados e usando que \vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{j}=0 para i\neq j (ortogonalidade), obtemos
\vec{v}\cdot\vec{b}_{j}= \sum_{i=1}^{5} x_{i}\,(\vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{j}) = x_{j}\,(\vec{b}_{j}\cdot\vec{b}_{j}).
  • Daí segue a fórmula prática para a coordenada x_{j}:
x_{j}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{j}}{\vec{b}_{j}\cdot\vec{b}_{j}}.
Esta fórmula é simples e evita resolver sistemas: basta calcular dois produtos escalares (o produto \vec{v}\cdot\vec{b}_{j} e o auto-produto \vec{b}_{j}\cdot\vec{b}_{j}).

Passo 3

Aplicando ao caso j=3. Primeiro identifiquei \vec{b}_{3}:
\vec{b}_{3}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Calcular \vec{v}\cdot\vec{b}_{3} pelo produto componente a componente:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=31\cdot(-3)+3\cdot 3+(-6)\cdot 2+2\cdot 3+25\cdot(-2).
Agora faço cada produto:
31\cdot(-3)=-93,\quad 3\cdot 3=9,\quad (-6)\cdot 2=-12,\quad 2\cdot 3=6,\quad 25\cdot(-2)=-50.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=-93+9-12+6-50.
Calcule passo a passo:
-93+9=-84,\quad -84-12=-96,\quad -96+6=-90,\quad -90-50=-140.
Portanto
\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}=-140.]

Passo 4

Agora calculo \vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3} (soma dos quadrados das componentes de \vec{b}_{3}):
\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}=(-3)^{2}+3^{2}+2^{2}+3^{2}+(-2)^{2}.
Calculo cada quadrado:
(-3)^{2}=9,\quad 3^{2}=9,\quad 2^{2}=4,\quad 3^{2}=9,\quad (-2)^{2}=4.
Somando:
9+9+4+9+4=35.
Portanto
\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}=35.

Passo 5

Agora uso a fórmula da Passo 2:
x_{3}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{b}_{3}}{\vec{b}_{3}\cdot\vec{b}_{3}}=\dfrac{-140}{35}.
Simplificando a fração:
\dfrac{-140}{35}=-4.
Logo a coordenada pedida é x_{3}=-4.

Resposta

-4

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