e o vetor \vec{v}=(31,3,-6,2,25).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
O vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}31\\[4pt]3\\[4pt]-6\\[4pt]2\\[4pt]25\end{pmatrix}.
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. O enunciado pede a entrada x_{3} (a terceira coordenada).
Observação importante dada: a base é ortogonal (os vetores da base são mutuamente ortogonais). Não se pede para resolver sistemas lineares.]
Passo 2
Explicação didática do método (por que não é necessário resolver sistema):
Se uma base \beta é ortogonal, então podemos escrever
\vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\,\vec{b}_{i}.
Tomando o produto interno (produto escalar) com \vec{b}_{j} em ambos os lados e usando que \vec{b}_{i}\cdot\vec{b}_{j}=0 para i\neq j (ortogonalidade), obtemos
Esta fórmula é simples e evita resolver sistemas: basta calcular dois produtos escalares (o produto \vec{v}\cdot\vec{b}_{j} e o auto-produto \vec{b}_{j}\cdot\vec{b}_{j}).
Passo 3
Aplicando ao caso j=3. Primeiro identifiquei \vec{b}_{3}: