Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+3 x+2 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -3 x+3
(B) 3 x+3
(C) -3 x+2
(D) -x+2
(E) -x+3
(F) 3 x+2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Espaço: polinômios reais de grau ≤ 2, denotado por \mathcal{P}_{2}.
  • Produto interno dado por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Polinômio a projetar: p(x)=-6x^{2}+3x+2.
  • Subespaço de projeção: \mathcal{P}_{1}, isto é, polinômios da forma q(x)=ax+b (com a,b\in\mathbb{R}).
O que o problema pede: encontrar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}; ou seja, determinar os coeficientes a e b tais que o polinômio q(x)=ax+b seja a projeção de p em [0,1].

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): a projeção ortogonal q\in\mathcal{P}_{1} de p sobre \mathcal{P}_{1} é caracterizada pela condição de ortogonalidade
\langle p-q, r\rangle=0
para todo r\in\mathcal{P}_{1}. Como \mathcal{P}_{1} tem dimensão 2, basta exigir ortogonalidade em relação a uma base de \mathcal{P}_{1}. A escolha mais simples é a base \{1,x\}. Portanto precisamos que
\langle p-q,1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
Essas duas equações vão gerar um sistema linear para a e b. Vou montar e resolver esse sistema, calculando as integrais necessárias.

Passo 3

Escrever as equações de ortogonalidade com q(x)=ax+b.
Primeira equação:
\langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-a x - b\big)\,dx=0.
Segunda equação:
\langle p-q,x\rangle=\int_{0}^{1}\big(p(x)-a x - b\big)x\,dx=0.
Agora calculamos as integrais que aparecem nessas equações usando p(x)=-6x^{2}+3x+2.

Passo 4

Calcular as integrais da primeira equação.
\int_{0}^{1} p(x)\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{2}+3x+2)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{1}{3}=-2,
\int_{0}^{1}3x\,dx=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}2\,dx=2\cdot 1=2.
Somando:
\int_{0}^{1} p(x)\,dx=-2+\frac{3}{2}+2=\frac{3}{2}.
Também
\int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}1\,dx=1.
Substituindo na primeira equação:
\frac{3}{2}-a\cdot\frac{1}{2}-b\cdot 1=0.
Multiplicando por 2 para eliminar denominadores:
3 - a - 2b = 0.
Ou rearranjando:
a + 2b = 3. \tag{E1}

Passo 5

Calcular as integrais da segunda equação.
\int_{0}^{1} p(x)\,x\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{3}+3x^{2}+2x)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{1}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}3x^{2}\,dx=3\cdot\frac{1}{3}=1,
\int_{0}^{1}2x\,dx=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Somando:
\int_{0}^{1} p(x)x\,dx=-\frac{3}{2}+1+1=\frac{1}{2}.
Também
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1} x\,dx=\frac{1}{2}.
Substituindo na segunda equação:
\frac{1}{2}-a\cdot\frac{1}{3}-b\cdot\frac{1}{2}=0.
Multiplicando por 6 para eliminar denominadores:
3 - 2a - 3b = 0.
Ou rearranjando:
2a + 3b = 3. \tag{E2}

Passo 6

Resolver o sistema linear formado por (E1) e (E2):
\begin{cases} a + 2b = 3,\\[4pt] 2a + 3b = 3. \end{cases}
A partir da primeira equação, a=3-2b. Substituindo na segunda:
2(3-2b)+3b=3.
Desenvolvendo:
6-4b+3b=3 \quad\Rightarrow\quad 6-b=3 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Então a=3-2b=3-2\cdot 3=3-6=-3.]

Passo 7

Encontramos a=-3 e b=3. Portanto a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio
q(x)=-3x+3.
Como verificação rápida, as duas condições de ortogonalidade ficam satisfeitas (foi com elas que determinamos a e b).

Resposta

(A) -3x+3

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