Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+3 x+2 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -3 x+3
(B) 3 x+3
(C) -3 x+2
(D) -x+2
(E) -x+3
(F) 3 x+2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Espaço: polinômios reais de grau ≤ 2, denotado por \mathcal{P}_{2}.
Produto interno dado por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
Polinômio a projetar: p(x)=-6x^{2}+3x+2.
Subespaço de projeção: \mathcal{P}_{1}, isto é, polinômios da forma q(x)=ax+b (com a,b\in\mathbb{R}).
O que o problema pede: encontrar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}; ou seja, determinar os coeficientes a e b tais que o polinômio q(x)=ax+b seja a projeção de p em [0,1].
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): a projeção ortogonal q\in\mathcal{P}_{1} de p sobre \mathcal{P}_{1} é caracterizada pela condição de ortogonalidade
\langle p-q, r\rangle=0
para todo r\in\mathcal{P}_{1}. Como \mathcal{P}_{1} tem dimensão 2, basta exigir ortogonalidade em relação a uma base de \mathcal{P}_{1}. A escolha mais simples é a base \{1,x\}. Portanto precisamos que