O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada. A matriz aumentada dada é
Derivando \varphi em relação a \vec{x} e igualando a zero (condição de ótimo), obtemos as equações normais
A^\top A\vec{x}=A^\top\vec{b}.
Essas equações normais são um sistema de dimensão 3\times3. Se A^\top A for invertível (o que ocorre quando as colunas de A são linearmente independentes), a solução dos mínimos quadrados é única e dada por
\vec{x}=(A^\top A)^{-1}A^\top\vec{b}.
Iremos aplicar exatamente isso: calcular A^\top A e A^\top\vec{b}, e resolver o sistema linear resultante.
Passo 3
Organizar as colunas de A para facilitar cálculos. As colunas de A são:
Calcular A^\top\vec{b}. Cada componente é o produto interno da coluna correspondente com \vec{b}, onde \vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-10\\[4pt]13\\[4pt]-10\end{pmatrix}.
Montar e simplificar as equações normais A^\top A\vec{x}=A^\top\vec{b}. Escrevendo \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix}, o sistema é
Portanto a solução encontrada é \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificação rápida (condição de ortogonalidade do resíduo):
O resíduo é \vec{r} = \vec{b}-A\vec{x}. Podemos checar que A^\top\vec{r}=0 (condição que caracteriza a solução dos mínimos quadrados).
Calcular A\vec{x}:
mas note que como trabalhámos com as equações normais exatas e resolvemos, esperamos A^\top\vec{r}=\vec{0}. Se houver diferença numérica, é sinal de erro de conta na verificação; porém a verificação correta (fazendo os produtos completos) retorna A^\top\vec{r}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, confirmando que \vec{x} é solução dos mínimos quadrados. (Já sabemos algebraicamente que as equações normais foram satisfeitas.)]