Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 7 \\\\ -7 \\\\ -5 \\\\ 5 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 5 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(6,-14,-4,28,-2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os vetores do enunciado):
  • A base ortogonal \beta=\{\,b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\,\} \subset \mathbb{R}^5 onde
b_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 3\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix},\; b_{2}=\begin{bmatrix}7\\\ -7\\\ -5\\\ 5\\\ -2\end{bmatrix},\; b_{3}=\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ 2\\\ -2\\\ -3\end{bmatrix},\; b_{4}=\begin{bmatrix}5\\\ 3\\\ -1\\\ -3\\\ 2\end{bmatrix},\; b_{5}=\begin{bmatrix}-1\\\ -3\\\ -1\\\ -3\\\ 2\end{bmatrix}.
  • O vetor \vec{v}=(6,-14,-4,28,-2).
  • O que se pede: calcular a quinta entrada x_{5} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente associado a b_{5} na expressão de \vec{v} na base \beta).
    Observação: o enunciado diz que a base é ortogonal e recomenda que não é necessário resolver sistema linear — sinal de que existe uma fórmula direta usando produto interno.

Passo 2

Fórmula e justificativa: para uma base ortogonal \{b_i\} em \mathbb{R}^n, se escrevemos
\vec{v}=\sum_{i=1}^{n} x_i b_i,
tomando produto interno com b_j obtemos
\langle \vec{v}, b_j\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i \langle b_i, b_j\rangle.
Como a base é ortogonal, \langle b_i, b_j\rangle=0 para i\neq j, e sobra apenas o termo i=j. Logo
\langle \vec{v}, b_j\rangle = x_j \langle b_j, b_j\rangle.
Portanto a fórmula para o coeficiente x_j é
x_j=\frac{\langle \vec{v}, b_j\rangle}{\langle b_j, b_j\rangle}.
Aqui \langle a,b\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^5, isto é, para a=(a_1,\dots,a_5) e b=(b_1,\dots,b_5),
\langle a,b\rangle = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4+a_5b_5.
Essa fórmula evita resolver sistema linear e é exatamente o atalho sugerido pelo enunciado.

Passo 3

Aplicar a fórmula para j=5: calcular o numerador \langle \vec{v}, b_{5}\rangle. Usando \vec{v}=(6,-14,-4,28,-2) e
b_{5}=(-1,-3,-1,-3,2),
fazemos o produto escalar componente a componente:
\langle \vec{v}, b_{5}\rangle =6\cdot(-1)+(-14)\cdot(-3)+(-4)\cdot(-1)+28\cdot(-3)+(-2)\cdot 2.
Calcule passo a passo:
6\cdot(-1)=-6,\quad (-14)\cdot(-3)=42,\quad (-4)\cdot(-1)=4,
28\cdot(-3)=-84,\quad (-2)\cdot2=-4.
Somando:
-6+42+4-84-4 = (-6+42)=36,\;36+4=40,\;40-84=-44,\;-44-4=-48.
Portanto
\langle \vec{v}, b_{5}\rangle = -48.

Passo 4

Calcular o denominador \langle b_{5}, b_{5}\rangle = \|b_{5}\|^{2}, ou seja, a soma dos quadrados das componentes de b_{5}:
\langle b_{5}, b_{5}\rangle = (-1)^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}+2^{2}.
Compute:
1+9+1+9+4 = 24.
Logo \langle b_{5}, b_{5}\rangle = 24.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula
x_{5}=\frac{\langle \vec{v}, b_{5}\rangle}{\langle b_{5}, b_{5}\rangle}=\frac{-48}{24}=-2.
Interpretando: isso significa que, na combinação linear de \vec{v} em relação à base ortogonal \beta, o coeficiente frente a b_{5} é -2. Bom trabalho — você evitou resolver um sistema e usou a ortogonalidade que simplifica tudo!

Resposta

(C) -2

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