e o vetor \vec{v}=(6,-14,-4,28,-2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei os vetores do enunciado):
A base ortogonal \beta=\{\,b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\,\} \subset \mathbb{R}^5 onde
O que se pede: calcular a quinta entrada x_{5} do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta} (ou seja, o coeficiente associado a b_{5} na expressão de \vec{v} na base \beta).
Observação: o enunciado diz que a base é ortogonal e recomenda que não é necessário resolver sistema linear — sinal de que existe uma fórmula direta usando produto interno.
Passo 2
Fórmula e justificativa: para uma base ortogonal \{b_i\} em \mathbb{R}^n, se escrevemos
Interpretando: isso significa que, na combinação linear de \vec{v} em relação à base ortogonal \beta, o coeficiente frente a b_{5} é -2. Bom trabalho — você evitou resolver um sistema e usou a ortogonalidade que simplifica tudo!