Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-9 x-1 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -6 x-1
(B) -9 x-1
(C) -6 x-2
(D) -3 x-1
(E) -9 x-2
(F) -3 x-2

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
o polinômio
p(x)=6x^{2}-9x-1
e pede a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1). As alternativas são polinômios da forma ax+b; preciso achar o a e b tais que a projeção ortogonal de p em \mathcal{P}_{1} seja esse ax+b.
Informações relevantes dadas:
  • Produto interno: \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Polinômio a projetar: p(x)=6x^{2}-9x-1.
  • Subespaço alvo: \mathcal{P}_{1}=\{ax+b \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • Objetivo: encontrar o polinômio q(x)=ax+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê (explicação didática):
Para achar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} vamos usar a condição de ortogonalidade: o erro p-q deve ser ortogonal a todo vetor do subespaço \mathcal{P}_{1}. Uma base conveniente de \mathcal{P}_{1} é \{1,x\}. Portanto exigimos
\langle p-q,1\rangle=0\quad\text{e}\quad \langle p-q,x\rangle=0.
Isto gera duas equações lineares para a e b. Essa é a maneira padrão e prática em provas: assumir q(x)=ax+b e impor ortogonalidade com a base.
Rápida aula sobre o que é cada coisa:
  • \langle f,g\rangle é o produto interno; numericamente é a integral do produto no intervalo [0,1].
  • Dizer que p-q é ortogonal a 1 significa \int_{0}^{1} (p(x)-q(x))\cdot 1\,dx=0.
  • Dizer que p-q é ortogonal a x significa \int_{0}^{1} (p(x)-q(x))\cdot x\,dx=0.
    Isso gera o sistema normal que vamos montar e resolver.

Passo 3

Calcular os termos do segundo membro: \langle p,1\rangle e \langle p,x\rangle.
Calculemos \langle p,1\rangle:
\langle p,1\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\cdot 1\,dx=\int_{0}^{1} (6x^{2}-9x-1)\,dx.
Fazendo a integral termo a termo:
\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx=6\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=6\cdot\frac{1}{3}=2,
\int_{0}^{1}-9x\,dx=-9\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=-9\cdot\frac{1}{2}=-\frac{9}{2},
\int_{0}^{1}-1\,dx=-x\Big|_{0}^{1}=-1.
Somando:
\langle p,1\rangle=2-\frac{9}{2}-1=2-4{,}5-1=-3{,}5=-\frac{7}{2}.
Calculemos \langle p,x\rangle:
\langle p,x\rangle=\int_{0}^{1} x\,p(x)\,dx=\int_{0}^{1} (6x^{3}-9x^{2}-x)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx=6\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}-9x^{2}\,dx=-9\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=-9\cdot\frac{1}{3}=-3,
\int_{0}^{1}-x\,dx=-\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=-\frac{1}{2}.
Somando:
\langle p,x\rangle=\frac{3}{2}-3-\frac{1}{2}=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)-3=1-3=-2.
Resumo até aqui:
\langle p,1\rangle=-\frac{7}{2},\qquad \langle p,x\rangle=-2.

Passo 4

Expressar \langle q,1\rangle e \langle q,x\rangle em função de a e b, com q(x)=ax+b.
Calculemos \langle q,1\rangle:
\langle q,1\rangle=\int_{0}^{1} (ax+b)\,dx=\left[\frac{a}{2}x^{2}+bx\right]_{0}^{1}=\frac{a}{2}+b.
Calculemos \langle q,x\rangle:
\langle q,x\rangle=\int_{0}^{1} x(ax+b)\,dx=\int_{0}^{1} (a x^{2}+b x)\,dx=\left[\frac{a}{3}x^{3}+\frac{b}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}.

Passo 5

Montar o sistema de equações de ortogonalidade e resolver.
As condições \langle p-q,1\rangle=0 e \langle p-q,x\rangle=0 equivalem a
\langle p,1\rangle=\langle q,1\rangle,\qquad \langle p,x\rangle=\langle q,x\rangle.
Substituindo os valores já calculados:
\frac{a}{2}+b=-\frac{7}{2},
\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-2.
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação isolamos b:
b=-\frac{7}{2}-\frac{a}{2}.
Substituímos na segunda:
\frac{a}{3}+\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}-\frac{a}{2}\right)=-2.
Calculemos o segundo termo:
\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}-\frac{a}{2}\right)=-\frac{7}{4}-\frac{a}{4}.
Então
\frac{a}{3}-\frac{a}{4}-\frac{7}{4}=-2.
Combine os termos em a:
\frac{a}{3}-\frac{a}{4}=a\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=a\cdot\frac{1}{12}=\frac{a}{12}.
Logo
\frac{a}{12}-\frac{7}{4}=-2.
Isolando \frac{a}{12}:
\frac{a}{12}=-2+\frac{7}{4}=-\frac{8}{4}+\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}.
Multiplicando por 12:
a=12\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-3.
Agora b:
b=-\frac{7}{2}-\frac{a}{2}=-\frac{7}{2}-\frac{-3}{2}=-\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{4}{2}=-2.
Portanto o polinômio da projeção é
q(x)=ax+b=-3x-2.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática):
Calculemos \langle p-q,1\rangle e \langle p-q,x\rangle para confirmar que são zero.
Primeiro p-q=(6x^{2}-9x-1)-(-3x-2)=6x^{2}-6x+1.
\langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1} (6x^{2}-6x+1)\,dx = \left[2x^{3}-3x^{2}+x\right]_{0}^{1}=2-3+1=0.
\langle p-q,x\rangle=\int_{0}^{1} x(6x^{2}-6x+1)\,dx =\int_{0}^{1} (6x^{3}-6x^{2}+x)\,dx =\left[\tfrac{6}{4}x^{4}-2x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} =\tfrac{3}{2}-2+\tfrac{1}{2}=0.
Ambas são zero, confirmando que q(x)=-3x-2 é de fato a projeção ortogonal.

Resposta

(F) -3x-2

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