Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-9 x-1 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -6 x-1
(B) -9 x-1
(C) -6 x-2
(D) -3 x-1
(E) -9 x-2
(F) -3 x-2
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
o polinômio
p(x)=6x^{2}-9x-1
e pede a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1). As alternativas são polinômios da forma ax+b; preciso achar o a e b tais que a projeção ortogonal de p em \mathcal{P}_{1} seja esse ax+b.
Objetivo: encontrar o polinômio q(x)=ax+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}.
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê (explicação didática):
Para achar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} vamos usar a condição de ortogonalidade: o erro p-q deve ser ortogonal a todo vetor do subespaço \mathcal{P}_{1}. Uma base conveniente de \mathcal{P}_{1} é \{1,x\}. Portanto exigimos