Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -3 \\\\ -2 \\\\ -7 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 6 \\\\ 9 \\\\ -4 \\\\ 1 \\\\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ -4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(17,23,-3,7,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada pelos vetores (os indexo na ordem dada):
\vec{b}_1=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ -2\\\ -7\\\ 2\end{pmatrix},\; \vec{b}_2=\begin{pmatrix}6\\\ 9\\\ -4\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix},\; \vec{b}_3=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ -3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix},
\vec{b}_4=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 2\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\; \vec{b}_5=\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 4\\\ -1\\\ -4\end{pmatrix},
e o vetor
\vec{v}=\begin{pmatrix}17\\\ 23\\\ -3\\\ 7\\\ -7\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a quarta coordenada x_4 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente associado a \vec{b}_4 quando \vec{v} é escrito na base \beta.

Passo 2

Ideia-chave (por que não é preciso resolver um sistema linear): como \beta é uma base ortogonal, os vetores \vec{b}_i satisfazem \langle \vec{b}_i,\vec{b}_j\rangle=0 para i\neq j. Se escrevermos
\vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_i\vec{b}_i,
tomando produto interno com \vec{b}_4 obtemos
\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle=\sum_{i=1}^{5} x_i\langle \vec{b}_i,\vec{b}_4\rangle = x_4\langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle,
pois todos os termos com i\neq4 são zero por ortogonalidade. Portanto a fórmula para a coordenada x_4 é
x_4=\frac{\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle}{\langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle}.
Essa é a razão pela qual não é necessário resolver um sistema linear completo: as equações se decouplam graças à ortogonalidade.

Passo 3

Lembrete sobre produto interno: no \mathbb{R}^5 com o produto interno padrão, para \vec{u}=(u_1,\dots,u_5) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_5),
\langle \vec{u},\vec{w}\rangle = u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3+u_4w_4+u_5w_5.
Vamos aplicar isso para calcular o numerador \langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle.

Passo 4

Calcular \langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle usando as componentes (peguei \vec{b}_4 e \vec{v} do enunciado):
\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle =17\cdot 2 + 23\cdot(-2) + (-3)\cdot 2 + 7\cdot 2 + (-7)\cdot 3.
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
17\cdot 2 = 34,\quad 23\cdot(-2)=-46,\quad (-3)\cdot2=-6,
7\cdot2=14,\quad (-7)\cdot3=-21.
Somando:
34 + (-46) + (-6) + 14 + (-21) = 34-46-6+14-21.
Agrupando:
34-46=-12,\quad -12-6=-18,\quad -18+14=-4,\quad -4-21=-25.
Logo
\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle = -25.

Passo 5

Calcular \langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle (o denominador):
\langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2.
Computando:
2^2=4,\;(-2)^2=4,\;2^2=4,\;2^2=4,\;3^2=9,
4+4+4+4+9 = 25.
Portanto \langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle = 25.

Passo 6

Agora uso a fórmula do Passo 2:
x_4 = \frac{\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle}{\langle \vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle} = \frac{-25}{25} = -1.
Assim, a quarta coordenada de [\vec{v}]_{\beta} é -1. (Logo a alternativa correta é a correspondente a -1.)

Resposta

(D) -1

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