e o vetor \vec{v}=(17,23,-3,7,-7).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 formada pelos vetores (os indexo na ordem dada):
O que se pede: encontrar a quarta coordenada x_4 do vetor de coordenadas [\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente associado a \vec{b}_4 quando \vec{v} é escrito na base \beta.
Passo 2
Ideia-chave (por que não é preciso resolver um sistema linear): como \beta é uma base ortogonal, os vetores \vec{b}_i satisfazem \langle \vec{b}_i,\vec{b}_j\rangle=0 para i\neq j. Se escrevermos