(Q7-ITA/2002) Seja f: R \rightarrow P(R) dada por f(x)= \{y \in R ; sen y<x\}. Se A é tal que f(x)=R, \forall x \in A, então:
a) \mathrm{A}=[-1,1]
b) A=[a, \infty), \forall a>1
c) A=[a, \infty), \forall a \geq 1
d) \mathrm{A}=(-\infty, \mathrm{a}], \forall \mathrm{a}<-1

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • A função f:\mathbb{R}\to P(\mathbb{R}) é dada por
f(x)=\{y\in\mathbb{R}\;|\;\operatorname{sen} y < x\}.
  • Queremos determinar o conjunto A\subseteq\mathbb{R} tal que
f(x)=\mathbb{R}\quad\text{para todo }x\in A.
Ou seja, para cada x\in A deve valer que "para todo y\in\mathbb{R}, \operatorname{sen} y < x". Nosso trabalho é achar todos os x que satisfazem essa propriedade.

Passo 2

Entender o comportamento da função seno é essencial. Um lembrete básico e crucial:
  • A função \operatorname{sen} y varia entre -1 e 1. Em notação:
-1\le \operatorname{sen} y \le 1\quad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.
  • Além disso, o valor 1 é realmente atingido por vários y, por exemplo y=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi (com k\in\mathbb{Z}), pois \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)=1.
Esse fato (existência de y com \operatorname{sen} y=1) será determinante por causa da desigualdade estrita \operatorname{sen} y<x.

Passo 3

Analisar a condição "para todo y, \operatorname{sen} y < x".
  • Se x>1: como \operatorname{sen} y\le 1 para todo y e 1<x, então para todo y vale \operatorname{sen} y\le 1 < x. Daí \operatorname{sen} y < x para todo y. Logo, para todo x>1 temos f(x)=\mathbb{R}.
  • Se x=1: existe y (por exemplo y=\tfrac{\pi}{2}) tal que \operatorname{sen} y=1. Para esse y não vale \operatorname{sen} y<1 (pois \operatorname{sen} y=1), portanto nem todo y satisfaz \operatorname{sen} y<1. Logo f(1)\neq\mathbb{R}.
  • Se x<1: como existe y com \operatorname{sen} y=1, esse y também viola \operatorname{sen} y<x quando x\le 1. Em particular, para qualquer x\le 1 existe y com \operatorname{sen} y=1\ge x, então \operatorname{sen} y<x não vale para todo y. Assim f(x)\neq\mathbb{R} quando x\le 1.

Passo 4

Reunindo as conclusões:
  • Precisamos de todos os x tais que f(x)=\mathbb{R}.
  • Isso acontece exatamente quando x>1.
Portanto o conjunto procurado é o intervalo aberto à direita de 1.

Resposta

(1,\infty)

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